第五章 第四节 4.1 单调函数与有界变差函数.ppt

文档介绍：
第四节微分与不定积分
引入微积分基本定理
本章的主要目的是要
在Lebesgue积分理论中推广这一结果
若f(x)在[a,b]上连续,则
若F `(x) 在[a,b]上连续,则
主要内容
为两个单调不减函数的差
单调函数的可微性:单调函数几乎处处有有限导数
有界变差函数(即两个单调不减函数的差)
绝对连续函数(即能写成不定积分形式的函数)
1 单调函数的可微性
定理设f(x)是[a,b]上的单调不减函数,则f `(x)在[a,b]上几乎处处存在有限导数,且
注:等号不一定成立,
即使f(x)是[a,b]上的
连续单调不减函数,
例如Cantor函数。
Weierstrass在1772构造出一
处处连续但无处可导的函数
(其中 0 <b< 1
且 a为正奇数)
Koch曲线
引入曲线的求长
2 有界变差函数
为f(x)对分点组P的变差,称
设f(x)是[a,b]上的有限函数,在[a,b]上任取一分点组 P
例
闭区间上的单调函数一定是有界变差函数
[ ]
例
连续函数不一定是有界变差函数
对[0,1]取分划
1/4
1/2
1/6
3 Jordan分解定理
定理 f(x)是有界变差函数当且仅当
f(x)可表成两个非负单调不减函数的差
注:由于单调函数的不连续点全体为一可数集,
从而有界变差函数的不连续点为一可数集,
故Riemann可积,并且几乎处处存在有限导数
Cantor函数(Cantor集为三等分去掉中间一个开区间,如此过程一直下去)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 1/9 1/3 2/3 1
1/2
1/8
1/4
3/8
5/8
7/8
3/4
如此类似取值一直定义下去