文档介绍：第四节微分与不定积分
目的:熟练掌握单调函数的结构,熟悉单调函数的基本性质以及跳跃度、跳跃函数等重要概念。
重点与难点:单调函数的性质与结构。
单调函数的结构
基本内容:
问题1:Newton-Leibniz公式告诉我们
什么?它的重要性表现在什么
地方?对于Lebesgue积分而言,
能否建立类似的结论?
第二节单调函数的结构
牛顿-莱布尼兹公式告诉我们,如果
是[a, b] 上的连续函数,则
是的一个原函数,即
。
第二节单调函数的结构
第二节单调函数的结构
假如我们将Riemann积分换成Lebesgue积分,类似的结论是否仍成立?具体地说,若是[a,b]上的Lebesgue可积函数,则
在[a,b]上是否可导?如果可导,其导函数是否等于?
另一方面,如果是[a, b] 上的可导函数,则在[a, b] 上是否可积?如果可积,则
是否等于?不难看到,无论是对Riemann积分还是对Lebesgue积分而言,一个函数即使处处有导数,其导函数未必是可积的。
第二节单调函数的结构
第二节单调函数的结构
例如,若
则在[0,1]上处处有导数,然而
在[0,1]上却是不可积的(参见江泽坚、吴智泉合编《实变函数论》第二版,高教出版社1998)。那么,什么样的函数的导函数是可积的呢?
这正是我们关心的问题。
二. 单调函数的间断点
定义1 设 f 是定义在实直线 R1 中点集
E 上的有限函数,如果对任意,
当时,不等式恒成
立, 就称 f 是 E 上的单调增加函数。
如果恒成立,则称 f 为 E
上的严格单调增加函数。
第二节单调函数的结构
第二节单调函数的结构
如果当时,不等式恒成立, 则称 f 是 E 上的单调递减函数。若不等式恒成立,则称 f 为 E上的严格单调递减函数。
第二节单调函数的结构
问题2:单调函数的间断点哪些类
型?间断点有多少?
第二节单调函数的结构
若 f 是 E 上的有限函数, 在
点的右极限存在,则称
为 f 在点的右方跳跃度,若 f 在点的左极限
存在,则称为 f 在点的左方跳跃度。