文档介绍：单调函数的可导性
目的:熟悉左、右导数的概念,理解为什么单调函数几乎处处有有限导数。
重点与难点:单调函数的可导性及其证明。
第四节微分与不定积分
基本内容:
问题1:回忆微积分中导数的定义,
如何判断导数是否存在?
第三节单调函数的可导性
从数学分析知道, 上的函数
在处的可导性等价于
这也是我们讨论函数可导性的一个常用的方法。因此,我们也给上面的左、右极限一个名称,这就是
第三节单调函数的可导性
左下、左上、右下、右上导数
定义3 设是上的有限
函数, ,记
第三节单调函数的可导性
第三节单调函数的可导性
分别称为 f 在
点右上、右下、左上、左下导数。
当 f 在点有有限导数时,也称
f 在点可微。
第三节单调函数的可导性
显然,f 在点有导数当且仅当
第三节单调函数的可导性
(2) 导数的存在性与可导性
上述定义与数学分析中导数定义有一点差别。事实上,在数学分析中,讲导数通常都是指可导,也就是说,其导数是一个有限数,此处则不同,导数值可以取∞,因此,当时,我们称 f 在该点有导数,而不说在该点是可导的,就是由于这个缘故。
第三节单调函数的可导性
(3) 导数值为∞的例子
从这个例子不难看到,函数在一点有导数并不意味着它在该点连续,上述函数在点就是间断的。
例设
则。
定义4 设 f 是上的连续函数,
若存在使得
,
则称 x 是 f 的右受控点,简称为右控点。若存在,使
,
则称 x 是 f 的左受控点,简称为左控点。
(1) 左、右控点的定义
第三节单调函数的可导性
第三节单调函数的可导性
(2) 左、右控点集的性质
问题2:为什么要引入左、右控点概念?
其实质是什么?