文档介绍：目的:进一步了解单调函数的性质,熟悉有界变差函数的定义,掌握其性质。
重点与难点:单调函数的性质,有界变差函数的定义及其性质。
有界变差函数
第四节微分与不定积分
第四节有界变差函数
基本内容:
问题1:如果 fn 是单调函数序列,且
,不难看出f也是单调
的,从而也几乎处处有有限导数,
fn 的导数与 f 的导数有什么关系?
等式
是否成立?
第四节有界变差函数
(1) Fubini定理
问题2:跳跃函数的导数是什么?
推论1(Fubini) 设是上的单调增加有限函数序列,且在
上处处收敛到有限函数 f ,则
。
证明:不妨设,否则可令,对讨论就行了。记
,
则都是单调增加函数,故去掉一个零测集 E 后, 都存在。
第四节有界变差函数
因及
单调增加,故其导数均非负,从而当
时, 。
由此得,级数
几乎处处收敛。往证
。
第四节有界变差函数
由于,对任意自然数 k,可取,使得
,
但也是单调增加函数,且
,所以,
第四节有界变差函数
这说明也是由单调增加函数列构成的收敛级数,将上面关于的结论用到上,得
第四节有界变差函数
进而,级数的通项趋于0,即
,
也即
。
证毕。
第四节有界变差函数
证明:设是上的单调增加函数,注意对任意,
,
由推论1立得证明。
推论2 若是上跳跃函数,则
。
第四节有界变差函数
第四节有界变差函数
问题3:从跳跃函数的导数几乎处处为零可以看出,单调函数的导数未必满足Newton-Leibniz公式,考虑更弱的问题:单调函数的导数是否R-可积?是否L-可积?其导函数的积分与该函数有没有什么关系?