文档介绍：绝对连续函数
本讲目的:掌握绝对连续函数的定义,,熟悉绝对连续函数的基本性质。熟练掌握Newton-Leibniz公式成立的充要条件。
重点与难点: Newton-Leibniz公式的证明。
第四节微分与不定积分
第五节绝对连续函数
现在回到我们最初的问题上来:
牛顿一莱布尼兹公式对何种函数成立?
第五节绝对连续函数
从单调函数的例子及上面的讨论不难看到,有界变差函数的导数虽然可积,但也未必能使牛顿—莱布尼兹公式成立。因此条件还要加强,这正是下面要引入的
定义8 设f是[a,b]上的函数,若对任意,存在, 使得对于[a,b]中的任意一组分点:
,
只要,便有
,
则称f是[a,b]上的绝对连续函数,或称f在[a,b]上绝对连续。
第五节绝对连续函数
从定义立知, [a,b]上的绝对连续函数一定是一致连续的。绝对连续函数与有界变差函数又是什么关系呢?假设是[a,b]上的绝对连续函数,于是对任意,存在,使得只要,
就有
,
取正整数N,使得,
将分成N等分,设分点为
第五节绝对连续函数
对[a,b]的任一分划添加进去,得新的分划,于是
因此, 。这就是说,连续函数一定是有界变差函数。下面的定理指出:对绝对连续函数,牛顿—莱布尼兹公式是成立的。
第五节绝对连续函数
定理9 设上的绝对连续函数,则上几乎处处可微,
上Lebesgue可积,且
证明:由上面的讨论,显然仅需证明等式
成立。
第五节绝对连续函数
对于
则上的可积函数,且
第五节绝对连续函数
往证上积分等度绝对连续的函数序列。任取
使得定义8中的不等式成立。设
内一列互不相交的区间,使得, 则对任意正整数, 有
第五节绝对连续函数
从而对任意
,有
进而
第五节绝对连续函数
由积分的绝对连续性易知
,
,