第五章 隐函数定理.pdf

文档介绍：第五章隐函数定理

§Jacobi 矩阵与 Jacobi 行列式

这章以及下一章中, 我们希望用偏导数来研究多元函数和多元向量函数.
设 G 和 W 分别是 R n 和 R m 中区域, F :G ® W 是一向量函数. 要研究 F , 我们需要
了解 F 的象集
F(G) = {Q ÎW $PÎG, . Q = F(P)}
以及逆象集
F ­1(Q) = {PÎG F(P) = Q}.
我们先讨论 F ­1(Q) .
将 F 表示为
(x ,L, x ) ® ( f (x ,L, x ),L, f (x ,L, x ))
1 n 1 1 n m 1 n ,
0 0 ­1
设 Q = (q1 ,L,qm ) ÎW , 则 F (Q) 为下面方程组的解:
0
ì f1(x1,L,xn ) = q1
ï
()
í LLLLLLL
ï f (x ,L,x ) = q0 .
î m 1 n m
0 0
如果令 F1(x1,L,xn ) = f1(x1,L, xn ) ­ q1 ,L, Fm (x1,L,xn ) = f m (x1,L, xn ) ­ qm , 则我
们需要解
ì F1 (x1,L, xn ) = 0
ï
LLLLLLL ()
í
ï
îFm (x1,L,xn ) = 0 .
一般不能期望将方程的解都给出来. 通常将 Fi (x1,L, xn ) = 0 看作变量(x1,L, xn ) 的
约束条件. 我们希望知道在这些约束条件下哪些变量是自由的, 使其余的变量由其决定,即
是否存在一组函数, 例如
xk+1 = g1(x1,L,xk )
LLLL ()

xn = g n­k (x1,L, xk ) ,
使得(x1,L, xn ) 为方程组()的解当且仅当其满足(), 其中(x1,L, xk ) 在一个开集
内取值.
满足上面关系的函数 g1(x1,L, xk ),L, gn­k (x1,L,xk ) 称为由方程组()确定的
1
F1(x1,L,xn ),L, Fm (x1,L, xn ) 的隐函数. 虽然一般不能将这样的隐函数的解析表达式给
出, 但仍然希望能够通过 F1(x1,L,xn ),L, Fm (x1,L, xn ) 的连续性、可微性、偏导数等得到
其隐函数的连续性、可微性和偏导数.
0 0
设 P0 = (x1 ,L, xn ) 是方程组()的解, 且 F1(x1,L,xn ),L, Fm (x1,L, xn ) 在 P0 的
邻域上可微, 则对 P = (x1,L, xn ) , 有
¶F1(P0 ) 0 ¶F1(P0 ) 0
F1 (x1,L,xn ) = (x1 ­ x1 ) +L+ (xn ­ xn ) + o( P ­ P0 ),
¶x1 ¶xn
LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
¶Fm (P0 ) 0 ¶Fm (P0 ) 0
Fm (x1,L,xn ) = (x1 ­ x1 ) +L+ (xn ­ xn ) + o( P ­ P0 ).
¶x1 ¶xn
由于我们讨论的仅是解的存在性问题, 忽略高阶无穷小, 则方程组可近似地化为齐次线性方
程组
ì ¶F (P ) ¶F (P )
1 0 (x ­ x0 ) +L+ 1 0 (x ­ x0 ) = 0
ï ¶x 1 1 ¶x n n
ï 1 n
í LLLLLLLLLLLLLLLLLL
¶F (P ) ¶F (P )
ï m 0 (x ­ x 0 ) +L+ m 0 (x ­ x 0 ) = 0 .
ï ¶x 1 1 ¶x n n
î 1 n
齐次方程组是我们熟知的, 其解空间由其系数矩阵确定. 上面方程组中的系数矩阵称为
F1(x1,L,xn ),L, Fm (x1,L, xn ) 在 P0 点的 Jacobi 矩阵.

0 0
定义: 设 P0 = (x1 ,L, xn ) , 映射 F : (x1,L,xn ) ® ( f1(x1,L, xn ),L, f m (x1,L, xn ))
在 P0 可微, 则矩阵
é ¶f (P ) ¶f (P ) ù
1 0 LL 1 0
ê ¶x ¶x ú
D( f ,L, f ) ê 1 n ú
1 m
(P0 ) = ê LL LL LL ú
D(x ,L, x ) ¶f (P ) ¶f (P )
1 n ê m 0