文档介绍：练习
1. 略
2. 略
:(1) 由于 1≤x + y + 1 ≤ 4, ( x , y ) ∈ D
∴∫∫dσ≤∫∫( x + y + 1) d σ≤∫∫ 4 d σ
D D D
≤+ +σ≤为面积)
sD∫∫( x y 1) d 4 s D ( s D D
D
2≤∫∫(x + y + 1) d σ≤ 8
D
(2)∵ 9≤x2 + y 2 + 9 ≤ 13, ( x , y ) ∈ D
∴≤2 + 2 +σ≤
9sD ∫∫( x y 9) d 13 s D
D
2
36π≤∫∫(x2 +y + 9)d σ≤ 52 π
D
4. ∵对于( x, y)∈ D , x + y ≤ 1
∴(x + y )2 ≤ 1
即 x2+ y 2 ≤1 − 2 xy ≤ 1
∴In( x2 + y 2 ) ≤ 0
∴∫∫ In( x2 + y 2 ) d σ≤ 0
D
∴I取负号。
练习
1. 据定理 1,有
b d
f (x, y)dσ= dx f (x, y )dy
∫∫∫a ∫c
D
d b
f( x , y ) dσ= dx f( x , y ) dx
∫∫∫c ∫ a
D
1
所以等式成立。
2. (1)根据累次积分,可得积分区域D 1: ≤ x ≤ 1,2 ≤ y ≤ x 2 ,
将 D 写成分型区域: 1 ≤ y ≤ 4 ,y ≤ x ≤ 2
4 2
∴原累次积分= f (x, y)dσ= dy f (x, y)dx
∫∫∫1 ∫ y
D
(2)积分区域 D 为: 0 ≤ y ≤ 1,y ≤ x ≤ y
写成x型区域:0 ≤ x ≤,1 x 2 ≤ y ≤ x,
∴原累次积分σ 1 x
= f (x, y)d = dx 2 f (x, y)dy
∫∫∫0 ∫
D x
1
(3)积分区域 D 为: 1 ≤ y ≤ 2 , ≤ x ≤ y
y
将 D 写成 x 型区域
1 1
D : ≤x ≤1, ≤ y ≤ 2
1 2 x
≤≤≤≤
D2:1x 2 , x y 2
1 2 2 2
∴原累次积分= 1 dx 1 f (x, y)dy + dx f (x, y)dy
∫∫∫1 ∫x
2 x
(4)积分区域 D 由 D1 和 D2 构成
≤≤≤≤
D1: 0x 1 ,0 y x
≤≤≤≤−
D2: 1x 2,0 y 2 x
D 写成 y 型区域: 0 ≤ y ≤ 1   y ≤ x ≤ 2 − y
1 2− y
∴原累次积分= dy f (x, y)dx
∫0 ∫y
1 1
3. (1) 原积分= dx (x 3 + 3x3 y + y 3 )dy
∫0 ∫0
2
2 4
1
= 3 + 3 y + y 1
∫ x y 3x 0 dx
0 2 4
1 3 1
= ∫ x3 + x 2 + dx
0 2 4
4
= x + 1 3 + 1 1
x x 0
4 2 4
= 1
( )原积分 1 1 y
2 = dx 3 dy
∫0 ∫0
(1+ x 2 + y 2 )2
1 1 1 1
= dy 2 dx
∫0 ∫0 3
2 (1+ x 2 + y 2 )2
1 1 1 1
= d(y 2 + x 2 +1 )dx
∫0 ∫0 3
2 (1+ x 2 + y 2 )2
− 1
2 2
1 (+ + ) 2
= 1 1 x y 1
∫ 0 dx
0 2 − 1
2
1 − 1 − 1
= −(x 2 + 2) 2 −(x 2 +1) 2 dx
∫0
11 1 1
= ∫dx−∫ dx
0x2+1 0 x 2 + 2
利用第六章例 23 可得
1
1 = +2 + 1 = +
∫ dxln( x x 1) 0 ln( 1 2 )
0 x2 +1
1
1 = +2 + 1 = +
∫ dxln( x x 2) 0 ln( 1 3 )
0 x2 + 2
¡ ¢ £
∴= ln (1+ 2)− ln (1+ 3)