文档介绍：第二节龙格—库塔法
一泰勒级数法
设有初值问题
由泰勒展开式
(1)
若令
(2)
则
即公式(2)为k 阶方法
二龙格—库塔方法(R-K方法)
R-K方法不是通过求导数的方法构造近似公式, 而是通过计算不同点上的函数值, 并对这些函数值作线性组合,构造近似公式, 在把近似公式于解的泰勒展开式进行比较, 是前面的若干项相同, 从而使近似公式达到一定的阶数。
对于欧拉法
每步计算f 的值一次,其截断误差为
每步计算f 的值两次,其截断误差为
对于预估—校正法
其中, , , , 为待定常数。
(3)
下面对预估校正法进行改进,将该公式写成更一般的形式
选择这些常数的原则是在的前提下,使的阶尽量高。
其中, , 都是在处的函数值。
为此,作泰勒展开式
将、代入得
只要四个参数满足
若,即的预估—校正公式.
与泰勒展开式(2)进行比较,要使得
(4)
满足(4)式的可以由各种不同的法
但不管如何取法,都要计算两次f的值(即计算f在
两个不同点的函数值),截断误差都是。
满足条件(4)的一族公式(3)统称为二阶龙格—库塔公式。
如果每步计算三次f的值,可将公式写成下列形式:
(5)
与二阶龙格—库塔公式的讨论方法类似,要使
只需8个参数满足
方程组包含6个方程,8个未知量,其解不唯一。
(6)