文档介绍：第四章随机变量的数字特征
教学目的:了解随机变量数字特征这个概念引入的必要性,掌握如下数字特征的定义:数学期望,方差,协方差,矩,相关系数。知道各种数字特征所表达的实际意义,了解它们之间的联系与区别,各自的使用范围与领域。掌握协方差矩阵,并了解其在多元统计分析中的重要地位。
教学方法:课堂讲授与软件演示相结合。首先通过身边例子引入数学期望这个基本概念,然后讲解其四条基本性质,并且介绍随机变量函数数学期望的简洁求法。紧接着引入另一个重要的概念,即方差,介绍方差的常用简洁计算方法及其四条性质。其次,重点讲解常用随机变量的数学期望与方差的计算方法,方法本身可不做过多介绍,但是结果一定要强调。再者,引入协方差的概念,并指出协方差的局限性,从而产生了相关系数的概念,重点阐述相关系数的本质即只表示两个变量之间的线性关系而不是反映所有关系。最后引入矩与协方差矩阵这个概念。由于这两个概念在数理统计中的重要地位,必须加以深刻讲解。教学辅助软件在这一章中有许多可以借鉴的内容。
教学手段:多媒体教学(电子教案,投影及粉笔、黑板的有机结合)
教学时数:6学时
§ 数学期望
教学内容:
1. 离散型随机变量数学期望的定义:
设离散型随机变量的分布律为
…
…
…
…
若级数绝对收敛,则称的值为随机变量的数学期望或均值,记作或。即
2. 连续型随机变量数学期望的定义:
设连续型随机变量的概率密度为,如果积分
绝对收敛,则称其为的数学期望(或均值),记为,即
3. 一维随机变量函数数学期望的简洁求法:
设为连续函数,若为离散型随机变量,分布律为:
…
…
…
…
则的数学期望为
()
若为连续性随机变量,概率密度为,则的数学期望为
()
该定理说明,在求相对复杂的随机变量的数学期望时,不一定要求的分布,而只要知道相对简单的随机变量的分布即可。
4. 二维随机变量函数数学期望的简洁求法:
设是随机变量的函数:,(是连续函数)。若是二维离散型随机变量,分布律为:
则有
()
若是连续型随机变量,概率密度为,则
()
5. 数学期望的性质:
(1)(1)设是常数,则有
(2)设是一个随机变量,是常数,则有
(3)设是两个随机变量,则有
(4)设是相互独立的随机变量,则有
教学形式:首先通过例子引入数学期望的概念及其意义,其次分离散型与连续型随机变量两种情形分别讨论其确切的数学定义。在此基础上,分别讲述一维与二维随机变量函数数学期望的简洁求法,最后引入数学期望的性质,在讲这些性质时,要理论联系实际,必要时辅之以软件教学,以帮助同学们深刻理解。其间要有意识地引导学生认识到数学期望并不能反映随机变量的另外一些重要特征。
§ 方差
教学内容:
1. 随机变量方差的定义:
设是一个随机变量,若存在,则称为的方差,记为或。即
2. 标准差的概念:
而(与有相同的量纲)称为标准差或均方差。
3. 随机变量方差的具体定义:
若为离散型随机变量:
,则
()
若为连续型随机变量,概率密度为,则
()
4. 方差的意义:
方差刻画了随机变