文档介绍：第三节可测函数结构 Lusin定理
第四章可测函数
可测函数
简单函数是可测函数
可测函数总可表示成一列简单函数的极限
(当可测函数有界时,可作到一致收敛)
问:可测函数是否可表示成一列连续函数的极限?
可测集E上的连续函数定为可测函数
鲁津定理
实变函数的三条原理()
(1)任一可测集差不多就是开集(至多可数个开区间的并)
设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数,则
使得 m(E-F)<ε且f(x)在F上连续。
(去掉一小测度集,在留下的集合上成为连续函数)
即:可测函数“基本上”是连续函数
(3)任一点点收敛的可测函数列集差不多就是一致收敛列
(2)任一可测函数差不多就是连续函数
鲁津定理的证明
证明:由于mE[|f|=+∞]=0 ,故不妨令f(x)为有限函数
(1) 当f(x)为简单函数时,
当x∈Ei时,f(x)=ci,所以f(x)在Fi上连续,
而Fi为两两不交闭集,故f(x)在上连续
显然F为闭集,且有
对f(x)在F连续的说明
若f(x)在Fi上连续,而 Fi为两两不交闭集,则f(x)在上连续
故对任意x`∈O(x, δ)∩F,有|f(x`)-f(x)|=0,故f 连续
Fi0
( )
x
证明:任取
则存在 i0,使得x∈Fi0,f(x)= ci0,
又Fi为两两不交闭集,从而x在开集中
所以存在δ>0, 使得
对f(x)在F连续的说明
说明:取闭集的原因在于闭集的余集为开集,开集中的点为
内点,从而可取x∈Fi足够小的邻域不含其他Fi 中的点
函数在每一块上为常值,故在每一块上都连续,
但函数在R上处处不连续
条件Fi为两两不交闭集必不可少,如:
鲁津定理的证明
(2)当f(x)为有界可测函数时,
存在简单函数列{φn(x)} 在E上一致收敛于f(x),
由{φn(x)} 在F连续及一致收敛于f (x) ,
易知f(x)在闭集F上连续。
利用(1)的结果知
鲁津定理的证明
则g(x)为有界可测函数,应用(2)即得我们的结果
(连续函数类关于四则运算封闭)
(3)当f(x)为一般可测函数时,作变换
注:(1)鲁津定理推论
鲁津定理(限制定义域)
(即:去掉某个小测度集,在留下的集合上连续)
(在某个小测度集上改变取值并补充定义变成连续函数)
若f(x)为上几乎处处有限的可测函数,
使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)<ε(对n维空间也成立)
则及R上的连续函数g(x)
开集的余集是闭集
闭集的余集是开集
ai
bi
直线上的开集构造
直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个
互不相交的开区间的并
鲁津定理推论证明的说明
鲁津定理:设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数,
则使得m(E-F)<ε且f(x)在F上连续