迭代改善法 - 迭代改善法.ppt

文档介绍：1 迭代改善法设,其中为非奇异矩阵,且为病态方程组(但不过分病态). b Ax? nnA ??R 本节研究的问题是,当求得方程组的近似解后, 1x 首先用选主元三角分解法实现分解计算, LU PA??其中为置换阵, 为单位下三角阵, 为上三角阵, P L U 且求得计算解 . 1x 如何对其精度进行改善. 2 计算剩余向量, 11 Ax br??( ) 现利用的剩余向量来提高的精度. 1x 1x 求解, 得到的解记为. 1r Ad ? 1d. 112dxx??( ) 然后改善如果() ,() 及解的计算没有误差,则 1r Ad ?)( 112dxA Ax??说明就是的精确解. 2xb Ax? 11 Ad Ax?? 11r Ax??,b? 3 但在实际计算中,由于有舍入误差, 只是方程组的近似解,重复() ,() 的过程,就产生一近似解序列,有时可能得到比较好的近似. 2x }{ kx算法 5 设,其中为非 b Ax? nnA ??R 奇异矩阵,且为病态方程组(但不过分病态),用选主元分解法得到及计算解 . b Ax? LU PA?? 1x 本算法用迭代改善法提高近似解的精度. 1x (迭代改善法)设计算机字长为,用数组保存元素,数组 t ),(nnAA 保存三角矩阵及,用记录行交换信息, ),(nnCLU )( Ipn 4 存贮及 , 保存或 . )(nx 1x kx kr kd)(nr 1. 用选主元三角分解实行分解计算且求计算解(用单精度) LU PA?? 1x 2. 对于 0,,2,1Nk?? (1) 计算(用原始及双精度计算) kk Ax br??A (2) 求解, 即 ( 用单精度) kkrP Ud L??????. ,y Ud rP Ly k k (3) 如果则输出 , 停机 tkkxd ???? 10 / kkrxk,, (4) 改善 (用单精度计算) kkkdxx???1 5 3. 输出迭代改善方法迭代次失败信息 0N 当不是过分病态时,迭代改善法是比较好的改进 b Ax?近似解精度的一种方法,当非常病态时, 可能 b Ax?}{ kx 不收敛. 例11 ????????????????????????? 3988 .2 4944 .2 95285 .0 99030 .0 99030 .0 0303 .1 2 1x x(这里,用5位浮点数运算). 5, 10??t?用迭代改善法解)(b Ax?记为 6 解精确解(舍入到小数后 Tx) 2454 .1, 2240 .1(*?????? 1)(AAA cond 首先实现分解计算, 且求 LU PA?? 1x 第4位). . 4000 2000 2????, 00099 .00 99030 .0 0303 .11 9118 .0 01 LU A???????????????????计算解.) 2121 .1, 2560 .1( 1 Tx?应用迭代改善法需要用原始矩阵且用双倍字长精度 A 计算剩余向量,其他计算用单精度. Ax br?? 7 计算结果如下表. 4 7 5 4 6 7 2 221 11 10 365 .210 92456 .1033502 .010 3715 .32121 .1 10 285 .210 18 .12238 .103220 .010 .1 ?????????????? drxdrx,) 2454 .1, 2240 .1( 3 Tx?,) 10 659 .0, 10 682 .0( 5 5 3 T r ???????如果需要更多的数位,迭代可以继续. kx .) 10 3515 .0, 10 2717 .0( 4 4 3 T d ?????? 8 矩阵的正交三角化及应用 9 初等反射阵定义 9设向量且, nwR? 1?ww TT ww IwH2)(??为初等反射阵(或称为豪斯霍尔德( Householder )变换). 如果记 , 则 Tnw),,,( 21?????.2122 2212 2221)( 2 2 1 2 2212 1 21 21???????????????????????? n n n n n wH?????????????????????称矩阵 10 定理 25设有初等反射阵 , T ww IH2??,1?ww T (1) 是对称矩阵,即 H .HH T?