课件12 换元积分法和分部积分法.pdf

文档介绍：§2 换元积分法和分部积分法
换元积分法
换元积分法可以分成两种类型:

⑴第一类换元积分法
在不定积分∫ fxdx() 中,若 fx()可以通过等价变形化成
~ ~ ~
fgxgx(())′( ),而函数 fu()的原函数 Fu()是容易求的。
~ ~ ~
因为[ ]))(( ′= ′′ xgxgFxgF )())(( = ′ xgxgf )())(( = fx(),可知
~
∫ fxdx() ))(( += CxgF 。
在运算时,可采用下述步骤:用ugx= ()对原式作变量代换,这时
相应地有 du= g′() x dx ,于是,
~ ~
∫ fxdx() = ∫ fgxgxdx(())′( ) = ∫(xdgxgf )))((
~ ~ ~
= ∫)( duuf = )( CuF =+ Fgx(())+ C。
这个方法称为第一类换元积分法。由于在将 fxdx() 化成
~ ~
′)))(( dxxgxgf =( (xdgxgf )))(( 的过程中往往要采取适当地“凑”的办法,
它也被俗称为“凑微分法”。
例 求 dx 。
∫ xa−
1 ~ 1
解将 fx()= 看成是 fu()= 和 u = x − a 的复合函数,因为
xa− u
dx()− a= dx,所以
dx dx()− a
= (作变量代换uxa= −)
∫∫xa− xa−
du
= = ln|uC |+ (用uxa= −代回)
∫ u
= ln|xa−|+ C 。
dx
例 求。
∫ xa−
1 ~ 1
解将 fx()= 看成是 fu()= 和 u = x − a 的复合函数,因为
xa− u
dx()− a= dx,所以
dx dx()− a
= (作变量代换uxa= −)
∫∫xa− xa−
du
= = ln |uC |+ (用uxa= −代回)
∫ u
= ln|xa−|+ C 。
同理可以求出
dx 1 1
=−⋅+ C ( n > 1)
∫()xa− nn n−1 () xa−−1
和
dx 1 ⎛ dx dx ⎞ 1 − ax
∫= ⎜−⎟= ln + C 。
xa22− 2a ⎝− ax ∫∫+ ax ⎠ 2a + ax
例 求 dx 。
∫ xa22+
dx 1 dx 1 d()x x
解= = a (作变量代换u = )
∫∫∫22 2x 2 x 2
xa+ a1+ ()a a 1+ ()a a
1 du 1 x
= ∫= tanarc + Cu (用u = 代回)
a 1+ u2 a a
1 x
= tanarc + C 。
a a

同理可以求出
dx x
∫=+arcsin C 。
ax22− a
例 求∫ tan xdx 。
sin x (cosxdx )′
解 tan xdx = dx =−(作变量代换ux= cos )
∫∫ cos x ∫ cos x
du
=−= − ln |uC |+ (用u = cos x 代回)
∫ u
=−ln |cosxC |+ 。

等熟练之后,只要将代换ugx= ()默记在心,就可以直接写出
sin x dx(cos )
tan xdx = dx =−= − ln|cosxC |+ 。
∫∫ cos x ∫ cos x
例 求∫ sec xdx 。
1 cos x dx(sin )
解 sec xdx ==dx dx = ,
∫∫∫cos x cos2 x ∫ 1− sin 2 x
dx 1 − ax
作变量代换 ux= sin ,并利用∫= ln + C ,得到
xa22− 2a + ax
1 + sin1 x 1 + x)sin1( 2
∫ sec xdx = ln C =+ ln + C
2 − sin1 x 2 − sin1 2 x
+ sin1 x
= ln |tansec|ln ++=+ CxxC 。
cos x

可以类似地求出
∫ cot xdx = ln|sinxC |+
和
∫ csc xdx = −|cotcsc|ln + Cxx 。
例 求 dx 。
∫+ xx )1(
dx 1
解==+2 dx( ) 2arctan xC。
∫∫xx(1++ ) 1 ( x ) 2
例