文档介绍：§4 定积分在几何计算中的应用
应用一元函数的定积分可解决求平面图形的面积、求曲线的弧长、
求某些特殊的几何体的体积、求旋转曲面的面积等等类型的问题。
§4 定积分在几何计算中的应用
应用一元函数的定积分可解决求平面图形的面积、求曲线的弧长、
求某些特殊的几何体的体积、求旋转曲面的面积等等类型的问题。

求平面图形的面积
考虑由连续曲线 yfx= (),直线
x = a ,x = b 和 y = 0(即 x 轴)所围区域
的面积。 a c b
b
当 fx()> 0 时,面积为 fxdx() ;
∫a
b
当 fx()< 0 时,面积为−)]([ dxxf 。
∫a
当 xf )( 在区间 ba ],[ 上不保持定号
时,所要求的面积(如图中的阴影部分的面积)应为
b
Sfxdx= |()| 。
∫a
夹在连续曲线 yfx= ()和 ygx= ()之间,
左右由直线 x = a , x = b 界定的那部分区域
的面积(图 )为
b
−= |)()(| dxxgxfS 。
∫a
夹在连续曲线 yfx= ()和 ygx= ()之间,
左右由直线 x = a , x = b 界定的那部分区域
的面积(图 )为
b
−= |)()(| dxxgxfS 。
∫a
例计算由曲线 yx= 2 和 xy= 2
所围区域的面积。
解曲线 yx= 2 和 xy= 2 的交点坐标
为(,)00 和(,)11 ,而当 x ∈[,]01 , xx≥ 2 (图
),
因此,所求的面积为
1
1 ⎛ 2 1 ⎞ 1
()xxdx− 2 −= xxx 3 = 。
∫0 ⎜⎟
⎝ 3 3 ⎠ 0 3
例设(,xy )是等轴双曲线 xy22−= 1上的任意一点,求由
双曲线与连接点(,xy )和原点的线段,连接点(,xy−)和原点的线段所
围成的曲边三角形的面积t (图 )。
例设(,xy )是等轴双曲线 xy22−= 1上的任意一点,求由
双曲线与连接点(,xy )和原点的线段,连接点(,xy−)和原点的线段所
围成的曲边三角形的面积t (图 )。

解不妨设 x > 0 ,
⎛ xy x ⎞
t = 2 ⎜ 2 −− 1duu ⎟( 2 xxxxxy 2 −+−−−= |1|ln1 )
⎝ 2 ∫1 ⎠
=−xy xy+ ln ( x+ y ) = ln (xy+ ) 。
由此得到 xy+ = et ,由于 xy22−= 1,
两式相除便有 xy−= e−t ,于是解得
⎧ eett+ −
⎪ xt= = ch ,
⎪ 2
⎨
⎪ eett−−
yt= = sh 。
⎩⎪ 2
注我们知道三角函数又统称为圆函数,这是因为,若在单位圆
上取点(,xy )和(,xy−),类似地考虑由圆弧与连接点(,xy )和原点的线
段,连接点(,xy−)和原点的线段所围成的扇形(图 ),设扇形的
面积为 t ,则有熟知的结论
⎧ xt= cos ,
⎨
⎩ yt= sin 。
两相比较,就不难明白,为什么要把
yxyx==sh、 ch 统称为双曲函数,并分别冠以
双曲正弦和双曲余弦的名称。
若 yf= ()x , x ∈[,]ab是用参数形式
⎧xxt= (),
⎨ tTT∈[,12 ]
⎩yyt= (),
表达的, tx )( 在 TT 21 ],[ 上具有连续导数,且′ tx ≠ 0)( 。那么用换元法可
以证明,由连续曲线 yfx= (),直线 x = a , x = b 和 y = 0 (即 x 轴)所
围区域的面积为
T
= 2 ′|)()(| dttxtyS 。
∫T
1
x 2 y 2
例求椭圆+=1的面积。
a 2 b2
解利用对称性,只求第一象限的那一块面积(图
)。将椭圆写成参数方程形式
⎧xa= cos t ,
⎨
yb= sin t ,
⎩ y
π
则当 x 从 0 变到 a 时, t 从变到 0,所以
2 b
S 0 ππ
= )(cossin ′dtttab = ab2 sin 2 t dt = ab ,
∫π∫0
4 2 4
即 xa
Sab= π。

⎧ xat=−(sin), t
例求旋轮线(摆线)⎨ t ∈[,02