文档介绍：§5 用多项式逼近连续函数
定义设函数 f (x)在闭区间[a, b]上有定义,如果存在多项
式序列{Pn (x)}在[a, b] 上一致收敛于 f (x),则称 f (x)在这闭区间上
可以用多项式一致逼近。

应用分析语言,“f (x)在[a, b]上可以用多项式一致逼近”可等价
表述为:
对任意给定的ε>0,存在多项式 P(x),使得
|P(x) - f (x)|<ε
对一切 x∈[a, b]成立。
Weierstrass 首先证明了:闭区间[a, b]上任意连续函数 f (x)都可以
用多项式一致逼近。
这一定理的证法很多,以下证明是由前苏联数学家 Korovkin 在
1953 年给出的。
定理 (Weierstrass 第一逼近定理) 设 f (x)是闭区间[a, b]
上的连续函数,则对任意给定的ε>0,存在多项式 P(x),使得
|P(x) - f (x)|<ε
对一切 x∈[a, b]成立。
证不失一般性,我们设[a, b]为[0, 1] 。
设 X 是[0, 1]上连续函数全体构成的集合,Y 是多项式全体构成的
集合,现定义映射
Bn : X → Y
n
⎛ k ⎞
f − xx )1(C −knkk
f (t) 6 n xfB ),( = ∑⎜⎟ n ,
k =0 ⎝ n ⎠
这里 n xfB ),( 表示 f ∈X 在映射 Bn 作用下的像,它是以 x 为变量的 n 次
多项式,称为 Bernstein 多项式。
关于映射 Bn ,直接从定义出发,可证明它具有下述基本性质与
基本关系式:
(1) Bn 是线性映射,即对于任意 f , g ∈X 及α,β∈ R ,成立
Bn (αf +βg, x) = α Bn (f , x) +β Bn (g, x);
(2) Bn 具有单调性,即对于任意 f , g ∈X,若 f (t)≥g(t) 对一切
t∈[0, 1]成立,则
Bn (f , x)≥ Bn (g, x)
对一切 x∈[0, 1]成立;
n
kk − xx )1(C −kn n
(3) Bn (1, x) = ∑ n = [x + (1- x)] = 1;
k =0
n n
k −knkk kk −− 11 −kn
B (t, x) = n − xx )1(C = x n−1 − xx )1(C
n ∑ n ∑
k=0 k=1
= x [x + (1- x)] n-1 = x;
n 2 n
2 k −knkk k −1 kk −kn
B (t , x) = n − xx )1(C = n−1 − xx )1(C
n ∑ 2 ∑ n
k=0 n k =1
n n
k −1 −1 −knkk 1 −1 kk −kn
= − xx )1(C + n−1 − xx )1(C
∑ n−1 ∑ n
k=2 n k =1
n n
n −1 2 kk −− 22 −kn x kk −− 11 −kn
= x n−2 − xx )1(C + n−1 − xx )1(C
n ∑ n ∑