文档介绍：空间向量知识要点
已知向量 a，向量 b，单位向量 e
（1） a b a b cos a,b 其中 cos a,b 表示向量
a， b夹角。
（2） a e a cos a, e （3） a b a b 0
2
（4） a a a,（5） a b a b a b
（6） a b b a （交换律）
（7） a b c a b a b （分配律）注意： 不满足结合律
上述运算法则依然适用于空间向量空间向量的坐标表示
及运算法则（坐标表示的前提是向量的起点为原点）如
右图，空间直角坐标系中， Z
a
有 a a i a j a k ，
1 2 3 O y
其中 i 、 j 、 k 分别为 x、 y、z
x
的单位向量，则记为 a a1,a2 ,a3 ，
这就是 a的坐标表示。
运算法则：设 a a1 , a 2 , a 3 ， b b1 , b2 ,b3 则
① a b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3
1
② a b a1 b1 ,a2 b2 ,a3 b3
③ a a1 , a 2 , a 3
④ a b a1b1 a2b2 a3b3
⑤ a/ / b a1 b1且a2 b2且a3 b3
⑥ a b a1b1 a2b2 a3b3 0
2 2 2
⑦ a a 1 a 2 a 3 ，
2 2 2
b b 1 b 2 b 3
a b a b a b
⑧cos a, b 1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 3
a1 a2 a3 b1 b2 b3
已知点 A x1, y1, z1 与点 B x2 , y2 , z2 则有
⑨ AB x2 x1, y2 y1,z2 z1 ⑩
2 2 2
AB x2 x1 y2 y1 z2 z1
相关应用
一、证明方面：
已知 、 为两个不同平面