文档介绍：章节题目
第二节换元积分法
内容提要
第一类换元法:
第二类换元法:
重点分析
利用第一类换元法求不定积分时如何凑微分
利用三角代换、倒代换、根式代换求不定积分
难点分析
凑微分法求不定积分
习题布置
:2(双)
备注
教学内容
一、第一类换元法
问题:
解决方法:利用复合函数,设置中间变量.
过程:令
在一般情况下:
设则
如果(可微)
由此可得换元法定理
定理1:设具有原函数,可导,则有换元公式
第一类换元公式(凑微分法)
说明:使用此公式的关键在于将化为
观察重点不同,所得结论不同.
例1 求
解(一)
解(二)
解(三)
例2 求
解:

一般地
例3 求
解:

例4 求
解:

例5 求
解:
例6 求
解:

例7 求
解:

例8 求
解:

例9 求
解:原式

例10 求
解:

例11 求
解:

说明:当被积函数是三角函数相乘时,拆开奇次项去凑微分.
例12 求
解:

例13 求
解(一)

(使用了三角函数恒等变形)
解(二)

类似地可推出
例14 设求.
解:令

例15 求
解:

二、第二类换元法
问题:
解决方法:改变中间变量的设置方法.
过程:令

(应用“凑微分”即可求出结果)
定理2设是单调的、可导的函数,并且,又设具有原函数,则有换元公式其中是的反函数.
证:设为的原函数,
令
则
说明为的原函数,

第二类积分换元公式
例16 求
解:令

例17 求
解:令,,

例18 求
解:令,,

说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式.
一般规律如下:当被积函数中含有
,可令
,可令
,可令
说明(2) 积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.
也可以化掉根式
例中, 令,

说明(3) 积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换(或双曲代换)并不是绝对的,需根据被积函数的情况来定.
例19 求(三角代换很繁琐)
解:令

例20 求
解:令

说明(4) 当分母的阶较高时, 可采用倒代换
例21 求
解:令

例22 求(分母的阶较高)
解:令

说明(5) 当被积函数含有两种或两种以上的根式时,可采用令
(其中为各根指数的最小公倍数)
例23 求
解:令

基本积分表
三、小结
两类积分换元法:
(一)凑微分(二)三角代换、倒代换、根式代换
基本积分表(2)