文档介绍：章节题目
第一节、定积分的概念
内容提要
定积分的定义
定积分的存在定理
定积分的几何意义
重点分析
定积分的实质:特殊和式的极限
利用定义求定积分
难点分析
利用定义求定积分
习题布置
:2(1)、3(2)(3)
备注
教学内容
一、问题的提出
实例1 (求曲边梯形的面积)
曲边梯形由连续曲线、轴与两条直线、所围成.
a
b
x
y
o
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积.
曲边梯形面积的近似值为
曲边梯形面积为
实例2 (求变速直线运动的路程)
设某物体作直线运动,已知速度是时间间隔上的一个连续函数,且,:把整段时间分割成若干小段,每小段上速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值.
(1)分割
,
(2)求和
(3)取极限
路程的精确值
二、定积分的定义
定义设函数在上有界,在中任意插入若干个分点把区间分成个小区间,各小区间的长度依次为,,在各小区间上任取一点(),作乘积并作和,
记,如果不论对怎样的分法,也不论在小区间上点怎样的取法,只要当时,和总趋于确定的极限,我们称这个极限为函数在区间上的定积分,
记为
注意:(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的字母无关.

(2)定义中区间的分法和的取法是任意的.
(3)当函数在区间上的定积分存在时,称在区间上可积.
三、存在定理
定理1 当函数在区间上连续时,称在区间上可积.
定理2 设函数在区间上有界,且只有有限个间断点,则在区间
上可积.
四、定积分的几何意义
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积的负值
几何意义:
例1 利用定义计算定积分