文档介绍：函数基本性质一一奇偶性知识点及经典例题
一、函数奇偶性的概念：
①设函数y f x的定义域为D ,如果对D内的任意一个x ,都有x D , 且f x f x ,则这个函数叫奇函数。
(如果已知函数是奇函数，当函数的定义域中有 0时，我们可以得出 f 0 0)
②设函数y g x的定义域为D ,如果对D内的任意一个x,都有x D , 若g x g x ,则这个函数叫偶函数。
从定义我们可以看出，讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断，看其
定义域是否关于原点对称。也就是说当 x在其定义域内时， x也应在其定义域内有意义。
③图像特征
如果一个函数是奇函数 这个函数的图象关于坐标原点对称。
如果一个函数是偶函数 这个函数的图象关于y轴对称。
④复合函数的奇偶性：同偶异奇。
⑤对概念的理解：
(1)必要条件：定义域关于原点成中心对称。
(2) -*)与f( x)的关系:
当£( x) “*)或£( x) f (x) 0或上(区 1时为偶函数；
f(x)
当f( x) f(x)或f( x) f (x) 0或、x) 1时为奇函数。
f(x)
二、函数的奇偶性与图象间的关系 ：
①偶函数的图象关于 y 轴成轴对称，反之也成立；
②奇函数的图象关于原点成中心对称，反之也成立。
三、关于函数奇偶性的几个结论 ：
①若 f(x) 是奇函数且在 x 0处有意义，则 f(0) 0
②偶函数 偶函数 = 偶函数；奇函数 奇函数 = 奇函数；
偶函数 偶函数 = 偶函数；奇函数 奇函数 = 偶函数；
偶函数 奇函数 = 奇函数
③奇函数在对称的单调区间内有 相同的 单调性，
偶函数在对称的单调区间内具有 相反的 单调性 .
四．典型问题
(一) 、关于函数奇偶性的判定
方法：
定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称 . 若不对称，则为非
奇非偶函数；若对称，则再判断f(x) f(x)或f(x) f( x)是否定义域上的 恒等式；
图象法：观察图像是否符合奇、偶函数的对称性
说明：
1 )分段函数的奇偶性的判定和分类讨论思想密切相关，要注意自变量在
不同情况下表达式的不同形式以及它们之间的相互利用。
2 )判断函数的奇偶性，首先要考查定义域是否对称。
3 )若判断函数不具备奇偶性，只需举出一个反例即可。
4 )函数就奇、偶性来划分可以分成奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既
是奇函数也是偶函数。
:
2 x x 1)f(x)-——；
f x 0
f x
x2 x(x 0)
x2 x(x 0)
f x
(6)已知函数f(x)满足：f(x y)
f(x y) 2f (x)f(y)(x,y R),且
1 x
f(0) 0,则函数f(x)的奇偶性为
(二)、关于函数奇偶性的运用
.利用奇偶性求函数式或函数值
1 .设函数f(x)为定义域为R上奇函数，又当x 0时f(x) x2 2x 3,试求f(x) 的解析式。
.已知y f x是奇函数，当x 0时，f x 2x2x1,求当x 0时，f x得
解析式
.设函数f(x)是定义域R上的奇函数，f(x 2) f(x),当0 x 1时，f(x) x,
求f ()的值