文档介绍：章节题目
第一节多元函数的基本概念
内容提要
多元函数的概念
多元函数极限的概念
多元函数连续的概念
闭区间上连续函数的性质
重点分析
多元函数的概念、极限、连续及连续的性质
难点分析
二重极限的计算
二重极限不存在的判定方法
习题布置
3、4(单)、5(单)、6、8
备注
教学内容
一、多元函数的概念
(1)邻域
设是平面上的一个点,是某一正数,与点距离小于的点的全体,称为点的邻域,记为,
(2)区域
例如,即为开集.
连通的开集称为区域或开区域.
例如,
开区域连同它的边界一起称为闭区域.
例如,
例如,有界闭区域;
无界开区域.
(3)聚点:设E是平面上的一个点集,P 是平面上的一个点,如果点P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E,则称P为E 的聚点.
说明:
a. 内点一定是聚点;
b. 边界点可能是聚点;
例
(0,0)既是边界点也是聚点.
c. 点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E.
例如,
(0,0) 是聚点但不属于集合.
例如,
边界上的点都是聚点也都属于集合.
(4)n维空间:为取定的一个自然数,我们称元数组的全体为
维空间,而每个元数组称为维空间中的一个点,数称为该点的第个坐标.
说明:
a. n维空间的记号为
b. n维空间中两点间距离公式
设两点为
特殊地当n=1,2,3时,便为数轴、平面、空间两点间的距离.
c. n维空间中邻域、区域等概念
邻域:
内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义.
(5)二元函数的定义: 设是平面上的一个点集,如果对于每个点,变量按照一定的法则总有确定的值和它对应,则称是变量的二元函数,记为(或记为).
类似地可定义三元及三元以上函数.
当时,元函数统称为多元函数.
多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念.
例1 求的定义域.
解
所求定义域为
(6) 二元函数的图形: 设函数的定义域为,对于任意取定的,对应的函数值为,这样,以为横坐标、
为纵坐标、为竖坐标在空间就确定一点,当取遍上一切点时,得一个空间点集,这个点集称为二元函数的图形.
二元函数的图形通常是一张曲面.
例如,
例如,
单值分支:
二、多元函数的极限
定义1 设函数的定义域为是其聚点,如果对于任意给定的正数
,总存在正数,使得对于适合不等式的一切点,都有成立,则称A为函数当,时的极限,
记为
(或这里).
说明:
定义中的方式是任意的;
二元函数的极限也叫二重极限
二元函数的极限运算法则与一元函数类似.
例2 求证
证
当时,
原结论成立
例3 求极限
解
其中
例4 证明不存在.
证
取
其值随k的不同而变化,故极限不存在.
确定极限不存在的方法:
(1) 令沿趋向于,若极限值与有关,则可断言极限不存在;
(2) 找两种不同趋近方式,使存在,但两者不相等,此时也可断言在点处极限不存在.
利用点函数的形式有元函数的极限
定义2 设元函数的定义域为点集是其聚点,如果对于任意给定的正数,总存在正数,使得对于适合不等式的一切点,都有成立,则称A为元函数当时的极限,记为
.
三、多元函数的连续性