文档介绍：章节题目
第一节二重积分的概念与性质
内容提要
二重积分的定义
二重积分的几何意义、性质
重点分析
二重积分的概念与性质
难点分析
对二重积分概念的理解
利用二重积分的性质解决有关问题
习题布置
4(单)、5(单)
备注
教学内容
一、问题的提出

柱体体积=底面积×高
特点:平顶.
柱体体积=?
特点:曲顶.
曲顶柱体

求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法.
步骤如下:
先分割曲顶柱体的底,并取典型小区域,
用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲
顶柱体的体积,
曲顶柱体的体积

设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为,假定在上连续,平面薄片的质量为多少?
将薄片分割成若干小块,取典型小块,将其近似看作均匀薄片,所有小块质量之和
近似等于薄片总质量
二、二重积分的概念
定义设是有界闭区域上的有界函数,将闭区域任意分成个小闭区域,,,其中表示第个小闭区域,也表示它的面积,在每个上任取一点,作乘积, 并作和,
如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时,这和式的极限存在,则称此极限为函数在闭区域D上的二重积分,
记为,即.
对二重积分定义的说明:
(1)在二重积分的定义中,对闭区域的划分是任意的.
(2)当在闭区域上连续时,定义中和式的极限必存在,即二重积分必存在.
二重积分的几何意义
当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积.
当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的负值.
在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D,
D
则面积元素为
故二重积分可写为
三、二重积分的性质
(二重积分与定积分有类似的性质)
性质1 当 k为常数时,
性质2
性质3 对区域具有可加性
性质4 若为D的面积,
性质5 若在D上
则有
特殊地
性质6 设、分别是在闭区域D上的最大值和最小值,为D的面积,则
(二重积分估值不等式)
性质7 设函数在闭区域上连续, 为
的面积,则在D上至少存在一点使得
(二重积分中值定理)
例1 不作计算,估计的值,其