文档介绍：章节题目
第二节二重积分的计算法(1)
内容提要
利用直角坐标系计算二重积分
重点分析
利用直角坐标计算二重积分
难点分析
二重积分化为二次积分时积分次序的选择及积分限的选择
习题布置
1(单)、2(单)、4、6(单)、8、10
备注
教学内容
一、利用直角坐标系计算二重积分
如果积分区域为:
[X-型]

其中函数、在区间上连续.
应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,
得
如果积分区域为:
[Y-型]

X型区域的特点: 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点:穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.
若区域如图,则必须分割.
在分割后的三个区域上分别使用积分公式
例1 改变积分的次序.
解积分区域如图
原式.
例2 改变积分的次序.
解积分区域如图
原式.
例3 改变积分的次序.
解

原式=
例4 求,其中是由抛物线和所围平面闭区域.
解两曲线的交点

例5 求,其中D是以为顶点的三角形.
解无法用初等函数表示
积分时必须考虑次序
例6 计算积分.
解不能用初等函数表示
先改变积分次序.
原式
例7 求由下列曲面所围成的立体体积,,,,,.
解曲面围成的立体如图.
所围立体在面上的投影是

所求体积

二、小结
二重积分在直角坐标下的计算公式
[X-型]
[Y-型]
(在积分中要正确选择积分次序)
思考题
设在上连续,并设,
求.
思考题解答
不能直接积出,
改变积分次序.
令,
则原式.