文档介绍：章节题目
第二节二重积分的计算法(2)
内容提要
利用极坐标系计算二重积分
重点分析
利用极坐标系计算二重积分
难点分析
极坐标系下二重积分化为二次积分时积分限的确定
习题布置
2(单)、3(单)、4(单)、5(单)、8
备注
教学内容
一、利用极坐标系计算二重积分
二重积分化为二次积分的公式(1)
区域特征如图
区域特征如图
二重积分化为二次积分的公式(2)
区域特征如图
二重积分化为二次积分的公式(3)
区域特征如图
极坐标系下区域的面积
例1 写出积分的极坐标二次积分形式,其中积分区域.
解在极坐标系下
所以圆方程为,
直线方程为,
例2 计算,其中D 是由中心在原点,半径为的圆周所围成的闭区域.
解在极坐标系下
D:,.
例3 求广义积分.
解
显然有
又
同理
当时,
故当时, 即,
所求广义积分.
例4 计算,其 D为由圆,及直线, 所围成的平面闭区域.
解
例5 计算二重积分,其中积分区域为
.
解由对称性,可只考虑第一象限部分,
注意:被积函数也要有对称性.
例6 求曲线和所围成的图形的面积.
解根据对称性有
在极坐标系下
由,得交点,
所求面积
二、小结
二重积分在极坐标下的计算公式
(在积分中注意使用对称性)
思考题
交换积分次序:
思考题解答