Chapter5-2定积分性质.ppt

文档介绍：§ 定积分性质
2. 线性性若f, g R[a, b], , 为常数, 则f gR[a, b], 且
3. 乘积函数可积若f, g R[a, b], 则f •g R[a, b].
4. 区间可加性若f R[a,b], 则c(a,b)有f R[a,c]R[c,b], 且
5. 保序性若f R[a, b], 且f (x)  0, 则
推论1 若f, g R[a, b], 且f (x)  g(x), 则
推论2 (估值不等式) 若f R[a, b], 且m  f (x)  M , 则
6. 绝对值不等式若f R[a, b], 则| f |R[a, b], 且
由–| f (x)|  f (x) | f (x)| 和保序性推论1即可得证. (几何意义)
逆命题不成立若| f |R[a, b], 未必有f R[a, b], 如
在[0,1]上. | f |R[0,1], 但 f 在[0,1]不可积.
7. 积分中值定理设 f C[a, b], gR[a, b], 在g在[a, b]上不变号. 则[a, b], 使得
证记M = maxx[a, b] f (x), m = minx[a, b] f (x). 不妨设g(x)  0,则因f C[a, b], gR[a, b], f •gR[a, b], 且
故
使得
推论设 f C[a, b], 则[a, b], 使得
几何意义 f (x)  0, 曲边梯形面积可化为底为(b – a)高为f ()的矩形面积([a,b]).
O
a
b

x
y
f ()
y =f (x)
例1 估计的值.
在[½, 1]上有唯一驻点x = 2/3, 且又因为f (1)=1, f (1/2)=7/8.
例2 求极限
解由积分中值定理[0, ½], 使得
由夹逼定理知原极限为0.