文档介绍：§ 原函数和微积分基本定理
一、原函数和变限积分
定义设f (x): IR, 若F(x)使得F (x) = f (x) (xI), 则称F(x)是f (x)在I上的一个原函数.
如(x2)=2x, (sinx)=cosx, 故x2和sinx分别是2x和cosx在R上的一个原函数.
定理设F(x)是f (x)在I上的一个原函数, 则F(x)+C (C为任意常数)为f (x)在I上的全体原函数.
证首先由(F(x)+C)= F (x) +(C)= f (x), 知F(x)+C是f (x)在I上的原函数. 再设G(x)是f (x)在I上的任一原函数, 则
由Lagrange定理推论知: G(x) – F(x) = C, 故G(x) = F(x)+C.
定义若f (x)R[a, b], 则对x[a, b], 存在, 它是x的函数, 记为
称之为f (x)在[a, b]上的变上限积分(函数)
定理若f (x)R[a, b], 则(x)C[a, b].
证因为f (x)R[a, b], 所以M > 0, 使|f (x)|  M (x[a, b]).
所以(x)C[a, b].
定理若f (x)C[a, b], 则(x)D[a, b], 且(x) = f (x), 即
证x[a, b], 因为f (x)C[a, b], 故介于x和x+x之间, 使
①变上限积分的导数=被积函数在上限处的取值.
②上述定理说明了原函数的存在性, 并提供了求法. 同时揭示了导数与积分的关系——一对互逆的运算.
③称为变下限积分.
例1 求导数
例2 求导数
例3 求导数
一般地, 有
例4 求极限
例5 证明Cauchy—Schwarz不等式
证不妨设a < b. 令
故F(x)单调减少. 从而F(b)  F(a) = 0.
二、Newton-Leibniz公式
微积分基本定理设f (x)C[a, b], F(x)是f (x)在[a, b]上的一个原函数, 则
证记(x[a, b]), 则(a) = 0, 且(x)是f (x)在[a, b]上的一个原函数, 又F(x)也是f (x)的原函数, 所以
令x = a得C = – F(a), 所以
再令x = b得
三、不定积分
设F (x) = f (x), 则f (x)的全体原函数为F(x)+C.
定义设f (x)在I上存在原函数, 则把f (x)在I上的全体原函数称为f (x)在I上的不定积分, 记作
命题设F(x)是f (x)在I上的一个原函数, 则
定理 1) 设f (x)在I上存在原函数, 则
2) 若f (x)在I上存在原函数, 则
④不定积分与微分运算是互逆的.
定理若f, g在I上存在原函数, 则对任意常数, 有
⑤不定积分几何意义: 若F(x)是f (x)的一个原函数, 则F(x)的图像称为f (x)的一条积分曲线, f (x)的任一条积分曲线在横坐标相同的点处切线平行. 表示一族积分曲线, 它可由其中一条沿y轴平移得到.
O
x
y
F(x)+C