文档介绍：§5 微积分实际应用举例
微元法
我们先回忆一下求曲边梯形面积S 的步骤:对区间[,ab ]作划分
ax= 012< x< x<"< xn = b,
然后在小区间−1 xx ii ],[ 中任取点ξ i ,并记Δ= − xxx iii −1 ,这样就得到了小
曲边梯形面积的近似值Δ i ≈ξ)( ΔxfS ii 。最后,将所有的小曲边梯形面积
的近似值相加,再取极限,就得到
n b
= ξ)(lim ΔxfS ii = )( dxxf 。
λ→0∑∫a
i=1
对于上述步骤,我们可以换一个角度来看:将分点xi−1 和 xi 分别
记为 x 和 x +Δx ,将区间+ Δxxx ],[ 上的小曲边梯形的面积记为ΔS ,并
取ξ i = x ,于是就有Δ≈)( ΔxxfS 。然后令Δx → 0 ,这相当于对自变量作
微分,这样Δx 变成 dx ,ΔS 变成 dS ,于是上面的近似等式就变为微分
形式下的严格等式 dS= f() x dx 。最后,把对小曲边梯形面积的近似值
进行相加,再取极限的过程视作对微分形式= )( dxxfdS 在区间[,ab ]上
求定积分,就得到
b
= )( dxxfS 。
∫a
根据上面的理解,在解决实际问题时,我们可以简捷地按照以下
的步骤
自变量科学转为直接
b
⎯⎯→分割 xxx ],[ ⎯Δ+⎯规律⎯→)( Δ≈Δ⎯ xxfS ⎯微分⎯→)( ⎯=⎯积分⎯→=⎯)( dxxfSdxxfdS
∫a
来直接求解。
了解了方法的实质以后,上述过程还可以进一步简化:即一开始
就将小区间形式地取为+ dxxx ],[ ( dx 称为 x 的微元),然后根据实际问
题得出微分形式= )( dxxfdS ( dS 称为 S 的微元),再在区间 ba ],[ 上求积
分。也就是
b
⎯⎯→)( ⎯= ⎯→= )( dxxfSdxxfdSdx 。
∫a
这种处理问题和解决问题的方法称为微元法。微元法使用起来非
常方便,在解决实际问题中应用得极为广泛,如§4 中计算曲线的弧
长、几何体的体积、旋转曲面的面积等公式都可以直接用微元法来导
出,下面我们举一些其它类型的例子。
由静态分布求总量
我们首先考虑静态分布问题。设一根长度为 l 的直线段上分布着
某种物理量(如质量、热量、电荷量等等),将其平放在 x 轴的正半
轴上,使它的一头与原点重合,若它在 x 处的密度(称为线密度)可
由某个连续的分布函数ρ()x 表示( xl∈[,0 ]),由微元法,它在+ dxxx ],[ 上
的物理量dQ 为
dQ= ρ() x dx ,
对等式两边在[,0 l ]上积分,就得到由分布函数求总量的公式
l
Qxdx= ρ() 。
∫0
例如图的一根
金属棒,其密度分布为
ρ 2 xxx ++= )kg/m(632)( ,
求这根金属棒的质量 M 。 0 6 x
6
解 2 ++= )632( dxxxM
∫0 图
6
⎛ 2 3 ⎞
⎜ 3 2 ++= xxx ⎟= )kg(2346 。
⎝ 3 2 ⎠ 0
例如图的一根
金属棒,其密度分布为
ρ 2 xxx ++= )kg/m(632)( ,
求这根金属棒的质量 M 。 0 6 x
6
解 2 ++= )632( dxxxM
∫0 图
6
⎛ 2 3 ⎞
⎜ 3 2 ++= xxx ⎟= )kg(2346 。
⎝ 3 2 ⎠ 0
这个问题可以作以下的推广:
⑴假定物理量分布在一个平面区域上,x 的变化范围为区间[,ab ]。
如果过 x ( ≤≤ bxa )点并且垂直于 x 轴的直线与该平面区域之交上的
物理量的密度可以用 xf )( 表示,或者说该平面区域在横坐标位于
+ dxxx ],[ 中的部分上的物理量可以表示为)( dxxf ,那么由类似的讨论,
可以得到这个区域上的总物理量为
b
Qfxdx= () 。
∫a
例求圆心在水下 10 m,半径为 1 m 的竖直放置的圆形铁
片(图 )所受到的水压力。
解由物理定律,浸在液体中的物体在深度为 h 的地方所受到的
压强为
= ⋅ρghp ,
这里, ρ是液体的密度, g 是重力加速度。以铁片的圆心为原点、沿
铅垂线方向向下为 x 轴的正向建立坐标系,于是铁片在深度为10 + x 处
(−11≤ x ≤)受到的压强为(