概率论与数理统计第18讲.ppt

文档介绍：概率论与数理统计第18讲
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第十二章平稳随机过程
§1 平稳随机过程的概念
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有这样重要的一类随机过程, 即所谓平稳随机过程, 它的特点是: 过程的统计特性不随时间的推移而变化. 严格地说, 如果对于任意的n(=1,2,...),t1,t2,...,tnT时, n维随机变量 (X(t1),X(t2),...,X(tn))和(X(t1+h),X(t2+h),...,X(tn+h) ()具有相同的分布函数, 则称随机过程{X(t), tT}具有平稳性, 并同时称此过程为平稳随机过程, 或简称平稳过程.
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平稳过程的参数集T, 一般为(-,),[0,), {0, 1, 2, ...}或{0,1,2,...}. 当定义在离散参数集上时, 也称过程为平稳随机序列或平稳时间序列. 以下若无特殊声明, 均认为参数集T=(-, ).在实际问题中, 确定过程的分布函数, 并用它来判定其平稳性, 一般是很难办到的. 但是, 对于一个被研究的随机过程, 如果前后的环境和主要条件都不随时间的推移而变化, 则一般就可以认为是平稳的.
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恒温条件下的热噪声电压过程以及第十章§1例2,例3都是平稳过程的例子. 强震阶段的地震波幅, 船舶的颠簸过程, 照明电网中电压的波动过程以及各种噪声和干扰等等在工程上都被认为是平稳的.与平稳过程相反的是非平稳过程. 一般, 随机过程处于过渡阶段时总是非平稳的. 例如, 飞机在平稳飞行时高度的上下波动可看作是平稳的. 但是在起飞和降落过程当然不是平稳的. 当仅仅考虑过程的平稳阶段时, 为了数学处理的方便, 经常将时间范围取为-<t<.
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设平稳过程X(t)的均值函数E[X(t)]存在, 对n=1, 在(1,1)式中, 令h=-t, 由平稳性定义, 一维随机变量X(t1)和X(0)同分布. 于是E[X(t)]=E[X(0)], 即均值函数必为常数, 记为mX. 同样, X(t)的均方值函数和方差函数亦为常数, 分别记为YX2和sX2. 据此可知, 平稳过程的所有样本曲线都在水平直线x(t)=mX上下波动, 平均偏离度为sX.
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又若平稳过程X(t)的自相关函数RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]存在, 对n=2, 在()中, 令h=-t1, 由平稳性定义, 二维随机变量(X(t1), X(t2))与(X(0),X(t2-t1))同分布. 于是有 RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]=E[X(0)X(t2-t1)].等式右端只与时间差t2-t1有关, 记为RX(t2-t1), 即有 RX(t1,t2)=RX(t2-t1) ()或 RX(t,t+t)=E[X(t)X(t+t)]=RX(t).这表明: 平稳随机过程的自相关函数仅是时间差t2-t1=t的单变量函数.
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而协方差函数可以表示为CX(t)=E{[X(t)-mX][X(t+t)-mX]}=RX(t)-mX2.特别地, 令t=0, 由上式, 有 sX2=CX(0)=RX(0)-mX2.
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如前所述, 要确定一个随机过程的分布函数, 并进而判定其平稳性在实际中是不易办到的. 因此, 通常只在二阶矩过程范围内, 考虑如下一类广义平稳过程.定义给定二阶矩过程{X(t), tT}, 如果对任意t, t+tT E[X(t)]=mX(常数), E[X(t)X(t+t)=RX(t),则称{X(t), tT}为宽平稳过程或广义平稳过程. 相对地, 前述按分布函数定义的平稳过程称为严平稳过程或狭义平稳过程.
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由于宽平稳过程的定义只涉及与一维, 二维分布有关的数字特征, 所以一个严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也是宽平稳的. 但反过来,一般是不成立的. 不过有一个重要的例外情形, 即正态过程. 因为正态过程的概率密度是由均值函数和自相关函数完全确定的, 因而如果均值函数和自相关函数不随时间的推移而变化, 则概率密度也不随时间的推移而变化. 由此一个宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.
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