概率论与数理统计第2讲.ppt

文档介绍：概率论与数理统计第2讲
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§5 条件概率
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(一) 条件概率条件概率是概率论中的一个重要概念, 所考虑的是事件A已发生的条件下, 事件B发生的概率.例1 将一枚硬币抛掷两次, 观察其出现正反面的情况. 设事件A为"至少有一次为H", 事件B为"两次掷出同一面". 现在求已知事件A已经发生条件下事件B发生的概率.样本空间为S=(HH,HT,TH,TT}, A={HH,HT,TH}, B={HH,TT}. 已知事件A已发生, 知道"TT"不可能发生.
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即知试验所有可能结果所成的集合就是A, A中共有3个元素, 其中只有HHB. 于是, 在A发生的条件下B发生的概率,记为P(B|A),为
另外, 易知
故有
()
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对于一般古典概型问题, 若仍以P(B|A)记事件A已经发生的条件下B发生的概率, 则关系式()仍然成立. 事实上, 设试验的基本事件总数为n, A所包含的基本事件数为m(m>0), AB所包含的基本事件数为k, 即有
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定义设A,B是两个事件, 且P(A)>0, 称
为在事件A发生条件下事件B发生的条件概率.
不难验证, 条件概率P(|A)符合概率定义中的三个条件, 即
1,非负性: 对任一事件B, 有P(B|A)0
2, 规范性: 对于必然事件S, 有P(S|A)=1;
3, 可列可加性: 设B1,B2,...,是两两互斥事件,
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既然条件概率符合上述三个条件, 故§3中对概率所证明的一些重要结果都适用于条件概率. 例如, 对于任意事件B1,B2有 P(B1B2|A)=P(B1|A)+P(B2|A)-P(B1B2|A).例2 一盒子装有4只产品, 其中有3只一等品, 1只二等品, 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放回抽样. 设事件A为"第一次取到的是一等品", 事件B为"第二次取到的是一等品". 试求条件概率P(B|A).
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解易知此属古典概型问题. 将产品编号, 1,2,3号为一等品; 4号为二等品. 以(i,j)表示第一次, 第二次分别取到第i号,第j号产品. 试验E(取产品两次, 记录其号码)的样本空间为S={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),...,(4,1), (4,2), (4,3)}, 共12个基本事件组成,A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2), (3,4)}, 共9个基本事件组成,AB={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}.共6个基本事件组成.
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按()式, 得条件概率
也可以直接按条件概率的含义来求P(B|A). 我们知道, 当A发生以后, 试验E所有可能结果的集合就是A, A中有9个元素, 其中只有(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)属于B, 故可得
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(二)乘法定理由条件概率的定义()可得
乘法定理设P(A)>0, 则有
P(AB)=P(A)P(B|A) ()
上式容易推广到多个事件的积事件的情况. 例如, 设A,B,C为事件, 且P(AB)>0, 则有
P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) ()
一般地, 设A1,A2,...,An为n个事件, n2, 且P(A1A2...An-1)>0, 则有
P(A1A2...An)=P(A1)P(A2|A1)...
P(An-1|A1A2...An-2)P(An|A1A2...An-1) ()
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