文档介绍：概率论与数理统计第3讲
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第二章随机变量及其分布
§1 随机变量
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为了全面研究随机试验的结果, 揭示随机现象的统计规律性, 将随机试验的结果与实数对应起来, 将随机试验的结果数量化, 引入随机变量的概念.在随机试验完成时, 人们常常不是关心试验结果本身, 而是对于试验结果联系着的某个数感兴趣.
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例1 在一袋中装有编号分别为1,2,3的3只球. 在袋中任取一只球, 放回. 再取一只球, 记录它们的编号. 计算两只球的号码之和.
试验的样本空间S={e}={i,j},i,j=1,2,3. 这里i,j分别表示第一,二球的号码. 以X记两球号码之和, 对于每一个样本点e, X都有一个值与之对应, 如图所示.
1
2
3
i
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
j
4
例2 将一枚硬币抛掷3次. 关心3次抛掷中, 出现H的总次数, 而对H,T出现的顺序不关心. 比如说, 我们仅关心出现H的总次数为2, 而不在乎出现的是"HHT","HTH"还是"THH". 以X记三次抛掷中出现H的总数, 则对样本空间S={e}中的每一个样本点e, X都有一个值与之对应, 即有
样本点
HHH
HHT
HTH
THH
HTT
THT
TTH
TTT
X的值
3
2
2
2
1
1
1
0
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定义设随机试验的样本空间为S={e}. X=X(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数. 称X=X(e)为随机变量.
S
e1
e2
e3
x
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有许多随机试验, 它的结果本身是一个数, 即样本点e本身是一个数. 我们令X=X(e)=e, 则X就是一个随机变量. 例如, 用Y记某车间一天的缺勤人数, 以W记录某地区第一季度的降雨量, 以Z记某工厂一天的耗电量, 以N记某医院某一天的挂号人数. 那么Y, W, Z, N都是随机变量.本书中, 一般以大写字母如X,Y,Z,W,...表示随机变量, 而以小写字母x,y,z,w,...表示实数.
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随机变量的取值随试验结果而定, 而试验的各个结果出现有一定的概率, 因而随机变量的取值有一定的概率. 例如, 在例2中X取值为2, 记成{X=2}, 对应于样本点的集合A={HHT, HTH, THH}, 这是一个事件, 当且仅当事件A发生时有{X=2}. 则称P(A)=P{HHT, HTH, THH}为{X=2}的概率, 即P(X=2)=P(A)=3/8. 类似地有
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一般, 若L是一个实数集合, 将X在L上取值写成{XL}. 它表示事件B={e|X(e)L}, 即B是由S中使得X(e)L的所有样本点e所组成的事件. 此时有 P{XL}=P(B)=P{e|X(e)L},随机变量的取值随试验的结果而定, 在试验之前不能预知它取什么值, 且它的取值有一定的概率. 这些性质显示了随机变量与普通函数有着本质的差异.
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§2 离散型随机变量及其分布律
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