文档介绍：第三章随机变量的数字特征
内容
提要
本章主要讲述离散型随机变量的数学期望,连续型随机变量的数学期望,随机变量的函数的数学期望,数学期望的性质;方差的概念,方差的计算,方差的性质;协方差及相关系数的定义,协方差与相关系数的性质,矩等内容.
重点
分析
理解数学期望与方差的概念,掌握它们的性质与计算.
了解二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布、指数分布的数学期望与方差.
了解矩、相关系数的概念及其性质与计算.
难点
分析
数学期望与方差的概念、性质与计算.
矩、相关系数的概念、性质与计算.
习题
布置
习题3 (1,3,5,7,11,1520,22,24)
备注
教学内容( Contents )
Chapter Three 随机变量的数字特征(Figure Characteristic of Random Variable)
第二章我们讨论了随机变量的分布函数,,不需要去全面考察随机变量的整个变化情况,,在检查一批棉花的质量时,只需要注意纤维的平均长度,以及纤维长度与平均长度的偏离程度,如果平均长度较大、偏离程度较小,,某些与随机变量有关的数字,虽然不能完整地描述随机变量,:数学期望、方差和相关系数.
§ 数学期望(随机变量的均值)
Mathematical Expectation(Average of Random Variable)
一、离散型随机变量的数学期望(Mathematical expectation of discrete random variable)
Example 某年级有100名学生,17岁的有2人,18岁的有2人,19岁的有30人,20岁的有56人,21岁的有10人,则该年级学生的平均年龄为
事实上我们在计算中是用频率的权重的加权平均,对于一般的离散型随机变量,其定义如下:
Definition 设离散型随机变量的分布律为表3-1
表3-1
若级数绝对收敛,则称其为随机变量的数学期望(Mathematical expectation)或均值(Average).,则称随机变量的数学期望不存在.(Suppose is a discrete random variable, which distribution law is table 3-1. if progression is absolutely convergent, then it is called mathematical expectation (or average) of random variable , which is written . If seriesis divergent, then random variable has not mathematical expectation.)
Example 一批产品在有一二三等品及废品4种,所占比例分别为,各级产品的出厂价分别为6元,,4元,0元,求产品的平均出厂价.
Solution 由题意产品的平均出厂价为
(元)
Example 设随机变量服从二项分布,求它的数学期望.
Solution 由于
因而
Example 设随机变量服从参数为的泊松分布,求它的数学期望.
Solution 由于
因而
Example 已知离散型随机变量的概率分布为
,求.
Solution
二、连续型随机变量的数学期望(Mathematical expectation of a continual random variable)
Definition 设连续型随机变量的分布密度函数为,若积分绝对收敛,,.(Suppose is a continuous random variable, which its probability density function is . if integral, , is absolutely convergent, then it is called mathematical expectation (or average) of random variable, which is written, and .)
Example 设随机变量服从正态分布,求.
Solution 由于正态分布的密度函数为