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基础部分
第一课微积分
第 5 章原函数与不定积分
不定积分与原函数
不定积分与原函数的定义
定义 f (x)是定义在区间 I ∈ R 上的函数, 若存在定义在 I 上的可导函
数 F(x) , 使得 F′(x) = f (x), ∀x ∈ I , 则称 F(x) 为
f (x)在 I 上的一个原函数。
若 F(x) 为 f (x) 在 I 上的一个原函数, F(x) + C 也为
f (x)在 I 上的原函数, 其中C 为任意常数; 同样可以证明, f (x) 的任意两
个原函数的差为常数.
定义 称 f (x) 的所有原函数构成的集合{F(x) + C}为 f (x)
的不定积分, 记作∫ f (x)dx = F(x) + C ,
其中 F(x) 为 f (x)在 I 上的一个原函数,C 为任意常数。
不定积分存在的充分条件和必要条件
定理 连续函数一定存在不定积分。
事实上, 连续函数 f (x)的变上限积分
x
∫ a f (t)dt 就是 f (x)的一个原函数, 因此
x
∫ f (x)dx = ∫a f (x)dx + C 。
例 不连续的函数也可能有原函数或不定积分, 例如函数
⎧ 1 1
⎪2xsin − cos x ≠ 0
f (x) = ⎨ x x
⎩⎪ 0 x = 0
⎧ 1
⎪x2 sin x ≠ 0
有原函数 F(x) = ⎨ x 。
⎩⎪ 0 x = 0
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但 x = 0 点是 f (x)的第二类间断点. 值得指出的是
定理 若函数 f (x) 在(a,b) 区间内有第一类间断点, 则 f (x) 在
(a,b)区间内没有原函数。
⎧cos x, x ≥ 0,
例 设 f (x) =
⎨ x
⎩ae −1/ x, x < 0.
若 f (x)在 R 上有原函数,则 a = ( ).
−1
(A) e 。(B)0。(C)1。(D) a 任意。
解: f (x) 必须在 x = 0 点连续,即 lim f (x) = 1 。首先
x→0
lim f (x) = 1,其次应有
x→0+
ae x −1
lim f (x) = lim
x→0− x→0− x
1 1
e x −1−+1 −1
a a
a lim = a − a lim = 1,
x→0− x x→0− x
以上结果只当 a = 1 时成立。
x +1, x ≥ 0;
⎪⎧
例 设 f (x) = 1 1
⎨ e−x + , x < 0,
⎩⎪2 2
则 f 的一个原函数为( B )。
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⎧1
x2 + x, x ≥ 0;
⎪2
(A) F(x) =
⎨ 1
⎪− e−x , x < 0,
⎩ 2
⎧1 1
x2 + x −, x ≥ 0;
⎪2 2
(B) F(x) =
⎨ 1 x
⎪− e−x + , x < 0,
⎩ 2 2
⎧ 1
x2 + x, x ≥ 0;
⎪ 2
(C) F(x) =
⎨ 1 1
⎪− e−x + , x < 0,
⎩ 2 2
⎧1
x2 + x +1, x ≥ 0;
⎪2
(D) F(x) =
⎨ 1 x
⎪− e−x + , x < 0,
⎩ 2 2
注:分段函数的不定积分分段计算需要仔细。原函数要求:首先应该连续(特别
在分段点),其次一定是可微函数。
⎧ 1
x ≤ 0
⎪ 2
例 设 f (x) = 1+ x
⎨1
⎪ x +1 x > 0
⎩2
π
试确定 f (x)的一个原函数,使 F(0) = .
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