文档介绍：第6章几个典型的代数系统
半群与群
子群
循环群和置换群
陪集与拉格朗日定理
正规子群、商群和同态基本定理
环和域
例题选解
习题六
半群与群
半群与群都是具有一个二元运算的代数系统,群是半群的特殊例子。事实上,群是历史上最早研究的代数系统,它比半群复杂一些,而半群概念是在群的理论发展之后才引进的。。
图
群
半群
设〈S,*〉是代数系统,*是二元运算,如果*运算满足结合律,则称它为半群(semigroups)。
换言之,x,y,z∈S,若*是S上的封闭运算且满足(x*y)*z=x*(y*z),则〈S,*〉是半群。
许多代数系统都是半群。例如,〈N,+〉,〈Z,×〉,〈P(S),,〈SS,〉(SS={f|f:S→S},是复合运算)均是半群。但〈Z,-〉不是半群。
再如,设Σ是有限字母表,Σ+是Σ中的字母串Σ*={λ}∪Σ+,其中λ是不含字母的空串,运算τ是字母串的“连接”运算,则〈Σ*,τ〉是半群。如Com∈Σ*,puter∈Σ*,经τ运算后,得Computer仍是字母串。
【】
,则〈S,·〉是半群。这里·代表普通的矩阵乘法运算。
证明对任意的
因为
且a1a2≠0,所以
,因此·运算封闭。
·
【】
,则〈S,+〉不是半群。这里+代表普通的矩阵加法运算。
证明对任意的
取a2=-a1,则
且a1+a2=0,所以
因此*运算不封闭。
所以〈S,+〉不是半群。
【】
,则〈S,·〉不是半群。这里·代表普通的矩阵乘法运算。
证明取
则
所以
,因此*运算不封闭。
所以〈S,·〉不是半群。
对于半群中的元素,我们有一种简便的记法。
设半群〈S,*〉中元素a(简记为a∈S)的n次幂记为an,递归定义如下:
a1=a an+1=an*a1 n∈ Z+
即半群中的元素有时可用某些元素的幂表示出来。
因为半群满足结合律,所以可用数学归纳法证明
am*an=amn,(am)
n=amn。
普通乘法的幂、关系的幂、矩阵乘法的幂等具体的代数系统都满足这个幂运算规则。如果有a2=a,则称a为半群中的幂等元。
若〈S,*〉是半群,S是有限集合,则S中必含有幂等元。
证明因为〈S,*〉是半群,a∈S,有a2,a3,…,∈S。
因为S是有限集合,所以必定存在j>i,使得ai=aj。
令p=j-i,便有ai=aj=ap*ai,所以aq=ap*aq(q≥i)。
因为p≥1,所以可找到k≥1,使得kp≥i
akp=ap*akp=ap*(ap*akp)
=a2p*akp=a2p*(ap*akp)=…=akp*akp
即在S中存在元素b=akp,使得b*b=b。