第五讲 原函数与不定积分Cauchy积分公式解析函数的高阶导数.ppt

文档介绍：第五讲原函数与不定积分Cauchy积分公式解析函数的高阶导数
1. 原函数与不定积分的概念
2. 积分计算公式
§ 原函数与不定积分
1. 原函数与不定积分的概念
由§2基本定理的推论知:设f (z)在单连通区域B内解析,则对B中任意曲线C, 积分∫c fdz与路径无关,只与起点和终点有关。
当起点固定在z0, 终点z在B内变动,∫c f (z)dz
在B内就定义了一个变上限的单值函数,记作
定理设f (z)在单连通区域B内解析,则F(z)在
B内解析,且
定义若函数(z) 在区域B内的导数等于f (z) ,即
,称(z)为f (z)在B内的原函数.
上面定理表明是f (z)的一个
原函数。
设H (z)与G(z)是f (z)的任何两个原函数,
这表明:f (z)的任何两个原函数相差一个常数。
(见第二章§2例3)
2. 积分计算公式
定义设F(z)是f (z)的一个原函数,称F(z)+c(c为
任意常数)为f (z)的不定积分,记作
定理设f (z)在单连通区域B内解析, F(z)是f (z)
的一个原函数,则
此公式类似于微积分学中的牛顿-莱布尼兹公式.
但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强
例1 计算下列积分:
解1)
解2)
例3 计算下列积分:
小结求积分的方法
利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上
的推广,即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解
析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析
函数的一个积分表达式,从而成为研究解析函数
的有力工具,而且提供了计算某些复变函数沿闭
路积分的方法.
内容简介
§ Cauchy积分公式