文档介绍：课题: 泰勒公式

目的要求:
掌握泰勒公式的条件与结论
掌握几种常见函数的泰勒展开
初步掌握泰勒展开的简单应用

教学重点:
掌握几种常见函数的泰勒展开
教学难点:
掌握几种常见函数的泰勒展开
教学课时:2
教学方法:讲练结合
教学内容与步骤:
泰勒中值定理:
在近似计算和理论分析中, 对于复杂函数f (x). 常希望用一个多项式P(x) = a0+a1x+a2x2 +…+ anxn 来近似表示 f (x).
比如, 当|x|很小时, ex » 1+x, sin » x.,都是用一次函数表示函数 f (x)的例子.
缺陷: (1)精度不高, 误差仅为o(x) ,(2)没有误差估计式.
从几何上看, 缺陷(1)是由于我们在x=0附近用直线代替曲线, 精度当然不高.
能否改用二次曲线, 三次曲线, …, 代替? 精度是否能提高, 或者说, 曲线的吻合程度是否会更好些呢? 如下图
我们要解决的问题是: 设f (x)在x=x0的某邻域内有直到n+1阶导数.
(1)试求一个关于x–x0的n次多项式:Pn(x) = a0+a1(x–x0)+a2 (x–x0)2+…+ an (x–x0)n
使Pn(x)能在x0的附近近似表示 f (x).
即, f (x)和Pn(x)在x=x0处的函数值以及k阶(k£n)导数值都相等.
即, f (x0)=Pn(x0), f '(x0)= P'n(x0), f ''(x0) = P''n(x0), … f (n)(x0) = P(n)n(x0).
(2)误差 f (x)–Pn(x)的表达式.
首先解决问题(1), 即设f (x)在x=x0的某邻域U(x0)内有直到n+1阶导数.
求Pn(x) = a0+a1(x–x0)+a2 (x–x0)2+…+ an (x–x0)n. 满足f (x0) = Pn(x0), f '(x0) = P'n(x0),
f ''(x0) = P''n(x0), … f (n)(x0)= P(n)n(x0).
将x=x0代入Pn(x), 得Pn(x0)= a0= f (x0) ,
对Pn(x)求导, 再将x0代入, 得P'n(x0) = a1 = f '(x0)
对Pn(x)求二次导, 将x0代入, 得P''n(x0)= 2!a2 = f ''(x0)。故:
同理,
一般,得:
故:
定理(泰勒中值定理) 如果f (x)在含x0的某个区间(a, b)内有直到n+1阶的导数,则对"xÎ(a, b),有:
其中:x是介于x0与x之间的一个值.
证:设只须证明:间)或由于f (x)和Pn(x)在(a, b)内有直到 n+1 阶导数, 从而 Rn(x) 在(a, b)内有直到 n+1 阶导数.
注意到
有:
,x1介于x0与x之间.
对函数R'n(x)和(n+1)(x-x0)n在[x0, x1]或[x1, x0]上用柯西中值定理.
,x2介于x0与x1 之间.
继续下去, 经n次后,
其中x =xn+1介于x0与xn 之间, 从而介于x0与x之间.
注1. 公式:称为 f (x) 按(x-x0)的幂, ,称为拉格朗日型余项.
或记为:
当n=0时,泰勒公式变为拉格朗日中值公式:
间
若
则
且
可是, 误差Rn(x)是(x-x0)n的高阶无穷小(当x®x0时). 即 Rn(x)=0((x-x0)n ). 称为皮亚诺余项.
若在泰勒中值定理中取x0=0. 则公式为
其中x 介于x与0之间, 0<q<.
例. 写出 f (x) = ex展开到n阶的马克劳林公式.
解: f (n)(x) = ex, f (n)(0) =1
之间
特别, 取x=1, 有,
误差间
练****求f (x)=sinx 在x0=0的展开式
解:sin0 = 0,
将sin x在x0=0展开到n=2m阶. 得:

其中:
同理:c (注:cosx=(sinx)’=1-….)
其中,
练****求f(x)=ln(1+x)的n阶麦克劳林展开式
f(0)=0
ln(1+x)=
例. 求
解:展开,
相减,
从而:
练****1) (注:洛必达法则还没学) (:1/6)
(2) (注:等价无穷小) (:1)

作业:

教学总结:
计算不作重点,强调计算方法的多样性和灵活性。