文档介绍:第一讲:空间几何中的向量方法---------坐标运算与法向量
空间向量的坐标运算
若,,则
(1); (2);
(3); (4);
(5);
(6); (7);
(8).
例1 已知求的坐标.
练****1:已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M、N分别是AB,PC的中点,且PA=AD=1,求向量的坐标.
空间直角坐标系中平面法向量的求法
方程法
利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组,由于有三个未知数,两个方程,要设定一个变量的值才能求解,这是一种基本的方法,容易接受,但运算稍繁,要使法向量简洁,设值可灵活,法向量有无数个,他们是共线向量,取一个就可以。
已知求平面ABC的法向量。
解:设,则由得即
不妨设,得,取
其中行列式法向量取与向量共线的即可。
用这一方法解答例1,先把平面内的两个向量坐标对齐写
蒙住第一列,把后两列看成一个二阶行列式,计算就是向量的坐标,蒙住第二列,把前后两列看成一个二阶行列式,计算,作为的坐标,蒙住第三列,把前两列看成一个二阶行列式,计算作为坐标,所以,可以取,它与前面方程法求得的是共线向量。
优点:操作步骤清晰,容易记住,开始觉得不****惯,多练几次后,速度快、结果准。
已知,,,试求平面ABC的一个法向量.
练****已知平面经过三点试求平面的一个法向量.
第二讲:立体几何的向量方法-------平行与垂直
平行
设直线的方向向量分别为,平面的法向量分别为,则
线线平行:__________________________;
线面平行:__________________________;
面面平行:__________________________;
例1:四棱锥,底面是正方形,底面,,是PC 的中点,求证:.
垂直
线线垂直
设直线的方向向量分别为,设直线的方向向量分别为,则______________________________________
2、线面垂直
设直线的方向向量分别为,设平面的法向量分别为,则_________________________
3、面面垂直
设平面的法向量分别为,设平面的法向量分别为,则______________________________________
(一)证明线线垂直
例2:已知正三棱柱的各棱长都为1,M 是底面上BC 边上的中点,N是侧棱上的点,且,求证:.
变式1:已知正三棱柱的各棱长都为1,若侧棱的中点D,求证:.
(二)证明线面垂直
例2:如图所示,在正方体中,O为AC与BD 的交点,G为的中点,求证:
.
变式训练2: 如图所示,在正方体中,
(三)证明面面垂直
例3:在四面体ABCD中,
AC、AD的中点,求证:平面.
变式训练3:在正棱锥P-ABC中,三条側棱两两互相垂直,G是三角形PAB 的重心,E、F分别是BC、PB上的点,且BE:FB=1:2,求证:平面.