文档介绍：函数的导数是怎么算出来的? 一、微分的几何意义设函数在点处可导,如图一所示, 直线 MT 为曲线在点 M处的切线, )(xfy?x)(xfy? dx xf dx dx dy dx dx PQ)( tan tan ???????? dx MQ ?y NQ ??(微分)(增量) 图一微分的几何意义所以而 PQ 为曲线 PQ dy?若曲线的弧长为)(xfy?在M点处的切线 MT 上的纵坐标的增量。当自变量很小时,就可以用切线段上的增量来近似代替曲线段上的增量。 s MN ???则有)0(,)(1)()(|| 2 22? dx dx dy dx dy dx MP????上式称为弧的微分公式,由图可知: 22)()( dy dx ds??当曲线上的 N点无限地( 想象力比知识重要!)接近 M点时,即时,曲线的弧长为 0??x s MN ???转化为直线(切线 MP )。此时, ds s??根据导数与微分的关系、导数与积分的关系, 由基本初等函数的求导公式和积分公式, 可以直接推出其微分和积分公式。(增量等于微分) 函数的导数我们是这样定义的: 设函数在点 x 0处及其近旁有定义,当自变量 x在x 0处有增量时,相应地函数 y有增量。)(xfy?x?)()( ??xfxxfy?????如果的极限存在,这个极限称为函数 y=f(x) 在点 x 0处的导数(或称为变化率), 记为: x xfxxf x??????)()( lim 0 ??如果极限不存在,就说函数 y=f(x) 在点 x 0处不可导。 x y x????0 lim x y x????0 lim ??? 0xxy?????x y x0 lim 根据导数的定义,求函数 y=f(x) 的导数的三个步骤: : x xfxxfx y???????)()(1. 求增量: : x xfxxfx yy xx?????????????)()( lim lim 00例1求函数( c是常数)的导数。解: (1)求增量: 0)()(????????ccxfxxfy0???x y (2)算比值: (3)取极限: 这就是说,常数的导数等于零 cy?)()(xfxxfy?????求导举例: 0 lim 0???????x yy x 二、函数的导数怎样计算呢? 例2求函数的导数解: (1) 求增量: (2) 算比值: (3) 取极限: 同理可得: 2xy?( ) ( ) y f x x f x ? ? ??? 2 2 2 ( ) 2 ( ) x x x x x x ? ??????? xxx y?????2xxxx yy x x2)2( lim lim 0 0????????????为正整数) n nx x nn()( 1???例2 求正弦函数的导数 xy sin ?解: 因为 2 sin )2 cos( 2 sin ) sin( xxxxxxy ?????????2 2 sin )2 cos( x xxxx y????????所以 x yy x??????0 lim2 2 sin )2 cos( lim 0x xxx x????????x cos ?即( sinx )′= cosx 同理可得: ( cosx )′ =- sinx )2 cos 2 sin 2 sin (sin ??????????导数公式微分公式?? cos ) (sin ??积分公式 1)( ??? nnnx x dx nx xd nn1)( ???????Cxn dx x n n11 1???dd cos ) (sin ?????C d??? cos sin ?? sin ) (cos ??????dd sin ) (cos ?????Cd??? sin cos ??? 2 2 cos 1 sec ) (tan ???????? 2 2 cos sec ) (tan ddd?????C d??? sec ln tan ??? 2 2 sin 1 csc ) (cot???????? 2 2 sin 1 csc ) (cot????d???C d??? sin ln cot x x 1) (ln?? dx x xd 1) (ln????Cxdx x ln 1 x xee??)(dx eed xx?)( Ce dx e x x???