文档介绍:《概率论与数理统计(经管类)》(代码4183)自学考试复****提纲-附件1
《概率论与数理统计(经管类)》(4183)自学考试复****提纲
第一章 随机事件与概率
1、排列组合公式:排列数 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
组合数 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
例如:袋中有8个球,从中任取3个球,求取法有多少种?
解:任取出三个球与所取3个球顺序无关,故方法数为组合数
注:排列数经常用组合数及乘法原理得到,并不直接写出。
2、加法和乘法原理:
加法原理(两种方法均能完成此事):m+n
某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n
某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m×n 种方法来完成。
例1、从北京到上海的方法有两类:第一类坐火车,若北京到上海有早、中、晚三班火车分别记作火1、火2、火3,则坐火车的方法有3种;第二类坐飞机,若北京到上海的飞机有早、晚二班飞机,分别记作飞1、飞2。问北京到上海的交通方法共有多少种。
解:从北京到上海的交通方法共有火1、火2、火3、飞1、飞2共5种。它是由第一类的3种方法与第二类的2种方法相加而成。
例2、从北京经天津到上海,需分两步到达。
第一步从北京到天津的汽车有早、中、晚三班,记作汽1、汽2、汽3
第二步从天津到上海的飞机有早、晚二班,记作飞1、飞2
问从北京经天津到上海的交通方法有多少种?
解:从北京经天津到上海的交通方法共有:
①汽1飞1,②汽1飞2,③汽2飞1,④汽2飞2,⑤汽3飞1,⑥汽3飞2。共6种,它是由第一步由北京到天津的3种方法与第二步由天津到上海的2种方法相乘3×2=6生成。
3、基本事件、样本空间和事件:
如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。随机试验所有可能结果构成的集合为样本空间,记为。中的元素称为样本点,记为。
样本空间的任一子集称为随机事件。通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是的子集。
必然事件:在一次试验中,一定出现的事件,叫必然事件****惯用表示必然事件。
例如,掷一次骰子,点数≤6的事件一定出现,它是必然事件。
不可能事件:在一次试验中,一定不出现的事件叫不可能事件,而****惯用表示不可能事件。
例如,掷一次骰子,点数大于6的事件一定不出现,它是不可能事件。
4、事件的关系与运算:
①关系:
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):
如果同时有,,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:A=B。
A、B中至少有一个发生的事件:,或者。
属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者,它表示A发生而B不发生的事件。
A、B同时发生:,或者。,则表示A与B不可能同时发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。
②运算:
交换律:
结合律:A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配律:(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根律: ,
例3、A,B,C表示三事件,用A,B,C的运算表示以下事件。
(1)A,B,C三事件中,仅事件A发生
(2)A,B,C三事件都发生
(3)A,B,C三事件都不发生
(4)A,B,C三事件不全发生
(5)A,B,C三事件只有一个发生
(6)A,B,C三事件中至少有一个发生
解:(1)(2) (3) (4)
(5)(6)
例4、某射手射击目标三次:A1表示第1次射中,A2表示第2次射中,A3表示第3次射中。表示三次中射中0次,表示三次中射中1次,表示三次中射中2次,表示三次中射中3次,请用、、的运算来表示、、、
(2)表示A,B都发生且C不发生的事件。
(3)AB表示事件A与B都发生的事件,对C没有规定,说明C可发生,也可不发生。
∴AB表示A与B都发生的事件。
(4)
所以表示A与B都发生的事件。
5、概率的公理化定义:
设为样本空间,为事件,对每一个事件都有一个实数P(A),若满足下列三个条件:
1° 0≤P(A)≤1,
2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件,,…有
(3°通常称为可列(完全)可加性)