文档介绍：经济数学授课提纲
第二学期第三十七次授课
授课教师：郭正光
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§ 二阶常系数线性微分方程
上次课内容复****br/>特征方程:
实根
特 征 根
通 解
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二、二阶常系数非齐次线性微分方程
(1)
是二阶非齐次方程
的一个特解,
Y (x) 是相应齐次方程的通解,
定理 2.
则
是非齐次方程的通解 .
②
①
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证: 将
代入方程①左端, 得
①
是非齐次方程的解,
又Y 中含有
两个独立任意常数,
证毕
因而 ② 也是通解 .
②
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例如, 方程
有特解
对应齐次方程
有通解
因此该方程的通解为
定理3 设 和 是 的两个特解，则 是 的一个解。
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定理 4. 设
分别是方程
的特解, 则
是方程
的特解. (非齐次方程之解的叠加原理)
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例1
已知微分方程
个解
求此方程满足初始条件
的特解 .
解:
是对应齐次方程的解,
且
常数
因而相互独立,
故原方程通解为
代入初始条件
故所求特解为
有三
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二阶常系数线性非齐次微分方程 :
根据解的结构定理 , 其通解为
非齐次方程特解
齐次方程通解
求特解的方法
根据 f (x) 的特殊形式 ,
的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
①
— 待定系数法
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一、
为实数 ,
设特解为
其中 为待定多项式 ,
代入原方程 , 得
(1) 若 不是特征方程的根,
则取
从而得到特解
形式为
为m次多项式 .
Q (x) 为 m 次待定系数多项式
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(2) 若 是特征方程的单根 ,
为m 次多项式,
故特解形式为
(3) 若 是特征方程的重根 ,
是 m 次多项式,
故特解形式为
小结
对方程①,
此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .
即
即
当 是特征方程的 k 重根 时,
可设
特解
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