文档介绍：微 积 分 (知识点概要)
第一章 函数、极限与持续
1．1函数定义与符号
1．2极限概念与运算法则
1．3求极限办法
1．4函数持续性
1．1函数定义（P1）
1函数定义
1．若变量x、y之间存在着拟定相应关系，即当x值给定期，唯一y值随之也就拟定，则称y是x函数，记为y=f(x)。
2．拟定函数有两个要素：函数定义域和相应关系。
例如：y=lgx2 与y =2lgx 就不是相似函数，由于它们定义域不同。
2函数记号
一旦在问题中设定函数y=f(x)，记号“f”就是表达拟定相应规则，f（3）就是表达按此相应规则在x=3时所相应函数值y等。
3初等函数（P6）
称幂函数xk（k为常数），指数函数ax ，对数函数 logax
（a为常数，a﹥0，a≠1）三角函数及反三角函数为基本初等函数。
凡由基本初等函数经有限次加、减、乘、除及有限次复合且能用一种式子表达函数，称为初等函数。
4函数简朴性质
（1）有界性：（P5）
对于函数f(x)，若存在常数M、m对定义域内所有x
f(x)≤M 称f(x)有上界
f(x)≥m 称f(x)有下界，既有上界又有下界简称有界。
（2）奇偶性：（P3）
若函数f(x)定义域关于x=0对称区间，又对于定义域内任意x均有f(-x)=f(x) 则称f(x)为偶函数。
f(-x)=-f(x) 则称f(x)为奇函数。
（3）单调性：（P4）
若函数f(x)在[a、b]上有定义 对∀x∊[a、b]
x1﹤x2 时f(x1)≤f(x2) f(x) 在[a、b]上↗
f(x1)≥f(x2) f(x) 在[a、b]上↘
（4）周期性:(P5)
若存在常数a(a≠0)，使对任意x且有f(x)= f(x+a)则称f(x)为周期函数，称常数a 为f(x)周期。
1．2极限概念与运算法则
1极限直观定义（P11）
当一种变量f(x)在x→a变化过程中变化趋势是无限地接近于一种常数b，则称变量f(x)在x→a过程中极限存在。称常数b为它极限，记为
f(x)=b 否则就称极限不存在。
在极限不存在情形中，若f(x)在xa过程中，其值无限增大，则规定写成：
f(x)= +
（相应地 有f(x)= -，f(x)=）
在定义中要注意是：xa变化过程是指x以任何方式向a靠拢，且在靠拢过程中始终有 x≠a。
2极限精准定义（略）
若对∀ε﹥0，点有在∂≻0，当0≺∣x-a∣≺∂时
有∣f(x)-b∣≺ε 成立。
则称在xa过程中，f(x)以b为极限记为：f(x)=b
3极限运算法则：（P16）
若f(x)和g(x) 均存在，则
[f(x)±g(x)]= f(x) ±g(x)
f(x).g(x) = f(x) .g(x)
= （g(x)≠0）
4极限性质：（P15）
1．唯一性： 若极限f(x)存在，则极限是唯一。
2．有界性： 若极限f(x)存在， 则一定存在a去心领域即存在∂≻0，使f(x)在0≺∣x-a∣≺∂内是有界。
3．保号性： 设f(x)=b ｂ＞０，f(x)变到日后必有f(x)＞０。 ｂ＜０，f(x)变到日后必f(x) ＜０。
1．3求极限办法
1运用定义：
例：求极限
详：由于x0，x≠0，因此在变化过程中始终有定义，显然x0过程中∣∣无限增大，且符号不定故 =∞
又例：验证e不存在
详：因当x0+时x从0右边向0靠拢，→+∞，于是
e→+∞，而当x0-时，→-∞，从而e→0因此e不存在。
2运用极限运算法则（P16）
3运用函数持续性（P22、P23）
⑴由函数在点x0处持续定义：若已知f(x)在x=a处持续，则必有f(x)= f(a)
⑵初等函数在具定义区间内是持续，因此若f(x)是初等函数又判断出a是在f(x)定义区间上，则：
f(x)= f(a) [即只要将x=a代入f(x)计算f(a)]
4变形：（P17 例4—例7）
在向变量变化过程中，把f(x)作某价变形以消除不定性，普通采用消公因子，分子、分母同乘或除一因子，分子（分母）有理化手段。
5运用两个重要极限公式：（P18-P20）
两个重要极限：
=1 （=1）
(1+)x=e [(1+)=e]
=e [=e]
6应用洛必达法则(