文档介绍：不等式
知识点归纳:
一、不等式概念与性质
1、实数大小顺序与运算性质之间关系：
2、不等式性质：
（1） ， （反对称性）
（2） ， （传递性）
（3），故 （移项法则）
推论： （同向不等式相加）
（4），
推论1：
推论2：
推论3：
不等式性质是解、证不等式基本，对于这些性质，核心是对的理解和纯熟运用，要弄清每一种条件和结论，学会对不等式进行条件放宽和加强。
3、惯用基本不等式和重要不等式
（1） 当且仅当
（2）
（3），则
（4）
4、最值定理:设
（1）如积
（2）如积
即:积定和最小，和定积最大。
运用最值定理求最值三要素：一正二定三相等
5、均值不等式:
两个正数均值不等式：
三个正数均值不等是：
n个正数均值不等式：
6、四种均值关系：两个正数调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间关系是
小结:在不等式性质中，要特别注意下面4点：
1、不等式传递性：若a>b,b>c，则a>c,这是放缩法根据，在运用传递性时，要注意不等式方向，否则易产生这样错误：为证明a>c,选取中间量b,在证出a>b,c>b,后，就误以为能得到a>c。
2、同向不等式可相加但不能相减，即由a>b,c>d，可以得出a+c>b+d，
但不能得a—c>b—d。
3、不等式两边同步乘以一种数或式时，只有该数或式保证为正，才干得到同向不等式，否则不能保证所乘之数或式为正，则不等式两边同步乘以该数或式后不能拟定不等式方向；不等式两边同偶次乘方时，也要特别注意不等式两边必要是正
。
不等式应用范畴十分广泛，在数学中，诸如集合问题，方程(组)解讨论，函数单调性研究，函数定义域拟定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切联系，许多问题，最后都可归结为不等式求解或证明。
二、不等式证明办法
（1）比较法：作差比较：
作差比较环节：
①作差：对要比较大小两个数（或式）作差。
②变形：对差进行因式分解或配方成几种数（或式）完全平方和。
③判断差符号：结合变形成果及题设条件判断差符号。
注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们平方差来比较大小。
（2）综合法：由因导果由已知不等式出发,不断地用必要条件代替前面不等式,直到推导出前面不等式。惯用基本不等式有均值不等式；若，，则；若，则；④柯西不等式
（3）分析法：执果索因基本环节：要证……只需证……，只需证……
①“分析法”证题理论根据：寻找结论成立充分条件或者是充要条件。
②“分析法”证题是一种非常好办法，但是书写不是太以便，因此咱们可以运用分析法寻找证题途径，然后用“综合法”进行表达。
（4）反证法：正难则反直接证明难，就用反证。
（5）放缩法：将不等式一侧恰当放大或缩小以达证题目
放缩法办法有：
①添加或舍去某些项，如：；；
②将分子或分母放大（或缩小）
③运用基本不等式，
如：；
④运用惯用结论：
Ⅰ、；
Ⅱ、； （限度大）
Ⅲ、； （限度小）
（6）换元法：换元目就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，惯用换元有三角换元和代数换元。如：
已知，可设；
已知，可设()；
已知，可设；
已知，可设；
（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；
证明不等式办法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式最基本办法。要根据题设、题断构造特点、内在联系，选取恰当证明办法，要熟悉各种证法中推理思维，并掌握相应环节，技巧和语言特点。
数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中专门研究。
例1已知a，b∈R，且a+b=1。
求证：。
证法一：（比较法）
即（当且仅当时，取等号）。
证法二：（分析法）
由于显然成立，因此原不等式成立。
点评：分析法是基本数学办法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”充分条件。
证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）。
证法四：（反证法）假设，
则 。
由a+b=1，得，于是有
因此，
这与矛盾。
因此。
证法五：（放缩法）∵
∴左边＝
＝右边。
点评：依照欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式。
证法六：（均值换元法）∵，
因此可设，，