文档介绍：二项式定理
一、二项式定理：
（）等号右边多项式叫做二项展开式，其中各项系数叫做二项式系数。
对二项式定理理解：
二项展开式有项
字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1到0；字母按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到
二项式定理表达一种恒等式，对于任意实数，等式都成立，通过对取不同特殊值，可为某些问题解决带来以便。在定理中假设，则（）
要注意二项式定理双向功能：一方面可将二项式展开，得到一种多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式
二、二项展开式通项：
二项展开式通项是二项展开式第项，它体现了二项展开式项数、系数、次数变化规律，是二项式定理核心，它在求展开式某些特定项（如含指定幂项、常数项、中间项、有理项、系数最大项等）及其系数等方面有广泛应用
对通项理解：
字母次数和组合数上标相似
与次数之和为
在通项公式中共具有这5个元素，懂得4个元素便可求第5个元素
例1．等于 （ ）
A． B。 C。 D.
例2．（1）求展开式第四项系数；
（2）求展开式中系数及二项式系数
三、二项展开式系数性质：
①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”两项二项式系数相等，即
②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间获得最大值。
如果二项式幂指数是偶数，中间一项二项式系数最大，即偶数：；
如果二项式幂指数是奇数，中间两项二项式系数相等并最大，即
③二项展开式各系数和等于，令，即；
④奇数项二项式系数和与偶数项二项式系数和相等，令，即
例题：写出展开式中：
二项式系数最大项；
项系数绝对值最大项；
项系数最大项和系数最小项；
二项式系数和；
各项系数和
多项式展开式及展开式中特定项
求多项式展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再运用二项式定理展开。
例题：求多项式展开式
求二项式之间四则运算所构成式子展开式中特定项，可以先写出各个二项式通项再分析。
例题：求展开式中系数
例题：（1）如果在 展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中有理项。
（2）求展开式常数项。
【思维点拨】 求展开式中某一特定项问题时，惯用通项公式，用待定系数法拟定
五、展开式系数和
求展开式系数和核心是给字母赋值，赋值选取则依照所求展开式系数和特性来定
例题：已知，求：
（1）； （2）； （3）.
六、二项式定理应用：
1、二项式定理还应用与如下几方面：
（1）进行近似计算
（2）证明某些整除性问题或求余数
（3）证明关于等式和不等式。如证明：取展开式中四项即可。
2、各种问题惯用解决办法
（1）近似计算解决办法
当n不是很大，||比较小时可以用展开式前几项求近似值。
例题： （ ）
A． B． C． D．
整除性问题或求余数解决办法
①解决此类问题，必要构造一种与题目条件关于二项式
②用二项式定理解决整除问题，普通把幂底数写成除数倍数与某数和或差形式，再运用二项式定理展开，这里普通为1，若为其她数，则需对幂底数再次构造和或差形式再展开，只考虑背面（或者是某项）一、二项就可以了
③要注意余数范畴，对给定整数，有拟定一对整数和，满足，其中为除数，为余数，，运用二项式定理展开变形后，若剩余某些是负数，要注意转换成正数
例题：求除以7所得余数
例题： 若为奇数，则被9除得余数是 （ ）
A．0 B。2 C。7
例题：当且>1，求证
【思维点拨】此类是二项式定理应用问题，它取舍依照题目而定
综合测试
一、选取题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目规定.
1．在展开式中，系数为 （ ）
A． B． C． D．
2． 已知， 展开式按a降幂排列，其中第n
项与第n+1项相等，那么正整数n等于 （ ）
A．4 B．9 C．10 D．11
3．已知（展开式第三项与第二项系数比为11∶2，则n是 （ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．5310被8除余数