文档介绍：第八章 单因素方差分析
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引言、单因素方差分析的概念
第八章 单因素方差分析
前面我们学习了单样本和双样本的显著性检验方法。在科研活动中，有很多情况是要检验的不止两个样本，比如：
某学者培育了一个小麦新品种，为了掌握该新品种与现有其他4个品种的株高之间是否有显著差异，做了5个品种的比较试验，结果见表8-1，问5个小麦品种间是否有差异？
正确的检验结果
是差异显著。
假如我们用一对一的 t 检验， 共需检验 对 。
10
2
5
=
C
假设每一对检验接受零假设的概率都是1-α=，而且
这些检验都是独立的，
那么10对接受的概率（)10=， α’=1-=，
显然，犯Ⅰ型错误的概率明显增加。
那么，如何解决这类问题的检验呢？最好的方法就是
今天所讲的方差分析。
R. A. Fisher（1928）创造出方差分析方法（analysis variance，ANOVA），也就是前面我们所学的F检验。方差分析为一类特定情况下的统计假设检验，它是两样本平均数差异显著性检验的一种延伸。对于一个因素不同处理间的F检验，我们称作单因素方差分析(One-way ANOVA)。
方差分析与t检验的区别：
t检验判断两组数据平均数间的差异显著性；方差分析可同时判断多组数据平均数间的差异显著性。
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在一个多处理试验中，可以得出一系列不同的观测值。造成观测值不同的原因是多方面的，有的是处理不同引起的，处理效应或条件变异，有的是试验过程中偶然性因素的干扰和测量误差所致，既试验误差。方差分析的基本思想是将测量数据的总变异按照变异原因不同分解为处理效应和试验误差，并作出其数量估计。 通过方差比较以确定各种原因在总变异中所占的重要程度，即用处理效应和试验误差在一定意义下进行比较，如二者相差不大，说明试验处理对指标影响不大，如二者相差较大，处理效应比试验误差大得多，说明试验处理影响是很大的，不可忽视。从而作为统计推断。
方差分析的基本原理
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（一）平方和的分解
第八章 单因素方差分析
一、平方和的分解与自由度的分解
(i=1,2,3,
…，a)
“.”表示对一个下标的和
可验证如下3定理：
这就是平方和的可分割性，即：
总变异平方和=误差变异平方和+处理变异平方和
用SST表示总平方和:
用SSA表示处理平方和：
用SSe表示误差平方和：
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（二）自由度的分解
第八章 单因素方差分析
一、平方和的分解与自由度的分解
如平方和的最后分割公式：
因为在计算平方和时，资料中的全部数据受到一个条件限制，即
，所以总自由度应等于数据
总个数减去1，即：
对于样本间的自由dfA而言，由于用 计算样本间平方和时， 也受到一个条件限制，即 ，所以样本间的自由度为样本总数减去1，即： 。
对于样本内的自由度dfe而言，由于在计算样本内平方和时，要受到a个条件限制，即： ，所以样本内的自由度就等于数据总个数减去样本总数，即：
。
那么，总自由度的分割为：
为了估计σ2，
用SSe除以相应的自由度得误差均方MSe：
用SSA除以相应的自由度得处理均方MSA：
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第八章 单因素方差分析
二、效应模型及其均方期望
（一）固定效应模型与随机效应模型的概念
对于单因素方差分析而言，常用如下线性统计模型（linear statistical model）描述每一观测值：
式中：xij——第i处理（水平）下的第j次观测值；
μ——所有观测值的总平均数；
αi——第i次处理效应；
εij——随机误差成分。
方差分析的目的就是要检验处理效应的有无。要求模型中的随机误差成分εij服从正态分布N（0，σ2）的独立随机变量，并要求各处理的方差σ2相等。
上述模型中，包括两类不同的处理效应：固定效应（fixed effect）和随机效应（random effect）。固定效应是由固定因素（fixed factor）所引起的效应，随机效应是由随机因素（random factor）所引起的效应。处理固定因素所用的模型称为固定效应模型（fixed effect model），处理随机因素所用的模型称为随机效应模型（random effect model）。那么，什么属固定因素？什么属随机因素？
一言以蔽之，不同属性的处理或同一属性不同量级的处理