文档介绍：矩阵的合同变换
矩阵的合同变换
摘要：矩阵的合同变换是高等代数矩阵理论中，基本交换。在《高等代数》里，我们仅讨论简单而直接的变换，而矩阵的合同变换与矩阵相似变换，二次型等有着诸多相同性质和联系。
关键词：矩阵秩合同对角化
定义1：如果矩阵A可以经过一系列初等变换变成B，则积A与B等价，记为
定义2：设A，B都是数域F上的n阶方阵，如果存在数域F上的n阶段可逆矩阵P使得，则称A和B相似
定义3：设A，B都是数域F上的n阶矩阵，如果存在数域F上的一个n阶可逆矩阵P，使得
那么就说，在数域F上B与A合同。
以上三个定义，都具有自反性、传逆性、对称性、性。
定理1：合同变换与相似变换都是等价变换
证明：仅证合同变换，相似变换完全相似
因为P可逆，所以P存在一系列初等矩阵的乘积，即。
此时边为一系列初等矩阵的乘积
若则B由A经过一系列初等变换得到。所以，从而知合同变换是等价变换。
定理2：合同变换与相似变换，不改变矩阵的秩
证明：由知，合同变换与相似变换都是等价变换，所以不改变秩
定理3：相似矩阵有相同特征多项式
证明：共
又因为为对称矩阵
所以

注①合同不一定有相同特征多项式
定理4：如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同特征根，则A与B相似且合同
论：设A，B为特征根均为，因为A与B实对称矩阵，所以则在n阶正矩阵，使得
从而有
由
从而有
以其重数以秩，则
，线性无关的解向量个数为个，即5个
又因属不同特征根的特征向量线性无关
n阶对称阵A有n个线性无关的特征向量
n阶对称阵可对角化
从定理5，引理6中我们发现了合同在应用中的侧重点，
如对二次型应用
例求一非线性替换，把二次型
二次型矩阵为
对A相同列与行初等变换，对矩阵E，施行列初等变换
可把二次型化为标准型
解法（2）
此时
此时非线性退化替换为
发现在注[1]：任意对称阵合同的对角阵及其变换阵不是唯一确定的
特性1：在合同变换中具有变换和结果的多样性
[注]：在对角阵上元素相等及其它元素元素边相等情况下又有哪些性质呢？
例3．用可逆性变换化二次型
解：
对二次型矩阵为
标准形，则
[注]当P改变两行的位置交换后，发现
定理2：在A为对角线上元素相等，其余元素也相等，
则若有，则调整P的任意两行，对角阵形式不变。
证明：设初等变换的对调变换矩阵为J，显然于是有
而P与JP相比仅是行的排列顺序不同，
因此任意调整P的行，所得对角阵相同。
[注]以上为特殊条件下成立，如果在一般情况下呢？
例4．求实对称矩阵求可逆阵P使得为对角阵
我们得到
定理7：设对称矩阵，B为对角矩阵，若要调换B对角线上任意两个元素的位置得到，则只要调控B中对左的两列，可得到P，使得
，即P的列与B中元素的对应性。
证明：初等调换矩阵为J，显然
与相比，只是列的排列顺序发生了改变
的列与B的对角线上元素具有对应性
自己写例
定理8：如果对角线上的元素分别扩大得，则不要将P中对应的对应角线元素扩大，即可得到使得
证明：设初等变换的倍乘变换矩阵为（对角线上第J个元素）形，则有
中第J个元素为B的倍而，且其中对角线J个元素是P中对角线元素CJ倍。
例：已知对称矩阵求可逆矩阵P，使且对角形式
解
对单位阵E进行相应列初等变换得
则有
则此时有得
综上所述合同变换不仅与相似变换有着某千丝万缕的联系，而且其本身也有着变换矩阵多样多样，和结果的不确性，在对其特性与性质的联系中带来许多解题更多思路与方法。
主要参考文献
[1]北大数学系，高等代数第二版
[2]上海交大线性代数编写。线性代数（第三版）[M]