文档介绍：第二章导数与微分第一节导数一、引入二、导数的定义三、导数的物理意义和几何意义四、函数可导性与连续性的关系一、引入例 2-1 作直线运动的物体,已知其路程函数为 S=S ( t ) 。求该物体 t时刻的瞬时速度 v ( t )。解物体从 t 时刻到 t + ? t 时刻所经过的路程为?S=S ( t +? t ) -S ( t ) 此时段的平均速度为若存在,则此极限就是物体 t 时刻的瞬时速度 v ( t ) 。 Svt ??? 0 lim tSt ????例 2-2 求曲线 y= f (x ) 在点 P ( x 0 , f ( x 0 ) ) 处的切线的斜率。解如图 2-1 ,在曲线上 P 点的附近任取一点 Q ( x 0 +?x , f ( x 0 +?x ) ) , PQ 为割线。当?x?0 时, Q 点沿曲线逐渐接近 P 点, 从而割线 PQ 逐渐接近切线位置 PT 。设 PT 的倾斜角为?,则 x yo ? P Qx 0x 0+?x T y= f (x)图 2-1 0 tan lim xyx ??????二、导数的定义定义 2-1 设函数 y= f (x ) 在区间(a , b ) 内有定义, x 0∈(a , b ) 。当自变量在 x 0 处取得增量?x,相应的函数取得增量? y , ?y = f ( x 0 +?x ) - f ( x 0 )。如果当自变量的增量?x?0 时,函数的增量? y 与?x 之比的极限存在,则称此极限为函数 y= f (x ) 在x 0 点的导数(derivative) ,记为;或;或即 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim x x f x x f x y x x ?? ???????? ? 0 0 0 0 00 ( ) ( ) ( ) lim x x x x x f x x f x dy y f x dx x ? ??????? ?? ??? 0 x x y ?? 0 x x dydx ?0 ( ) f x ?若函数 y= f (x ) 在x 0 导数存在,则称 y= f (x ) 在x 0 处可导。若函数 y= f (x ) 在开区间(a , b ) 内的每一点都可导, 则称函数 y= f (x ) 在(a, b ) 内可导。当函数 y= f (x ) 在开区间(a , b ) 内可导时,任意的 x∈(a , b ) 都有对应的导数值, 因此在开区间(a , b ) 内定义了一个新函数,称之为函数 y= f (x ) 的导函数(derived function) ,简称为导数, 记为;或;或;或 y ? dydx ( ) f x ?( ) d f x dx 如果函数 y= f (x ) 在开区间(a , b ) 内可导,且与都存在,则称函数 y= f (x ) 在闭区间[a , b ] 上可导。以上左右极限分别称为函数 f (x ) 在点 b 的左导数和在点a 的右导数,分别记为。求函数导数的一般步骤: (1)求增量: ?y = f ( x+?x ) - f ( x) (2)计算比值: (3)求极限: 0 ( ) ( ) lim x f b x f b x ??????? 0 ( ) ( ) lim x f a x f a x ???????( ), ( ) f b f a ? ?? ?( ) ( ) y f x x f x x x ? ????? ? 0 0 ( ) ( ) lim lim x x y f x x f x x x ?? ??? ????? ?例 2-3 求线性函数 y=ax+b在x 点的导数。解(1) ?y = [ a(x+?x )+b ]-( ax+b )=a ?x (2) (3) 所以( ax+b )?=aax xax y?????? 0 0 lim lim x