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高中数学知识点椭圆双曲线抛物线
高中数学专题四 椭圆、双曲线、抛物线
《圆锥曲线》知识点小结
一、椭圆:(1)椭圆的定义:平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹。
其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距。
注意:表示椭圆;表示线段;没有轨迹;
(2)椭圆的标准方程、图象及几何性质:
中心在原点,焦点在轴上
中心在原点,焦点在轴上
标准方程
图 形
x
O
F1
F2
P
y
A2
A1
B1
B2
A1
x
O
F1
F2
P
y
A2
B2
B1
顶 点
对称轴
轴,轴;短轴为,长轴为
焦 点
焦 距
离心率
(离心率越大,椭圆越扁)
通 径
(过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段)
3.常用结论:(1)椭圆的两个焦点为,过的直线交椭圆于两点,则的周长=
(2)设椭圆左、右两个焦点为,过且垂直于对称轴的直线交椭圆于两点,则的坐标分别是
二、双曲线:
(1)双曲线的定义:平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于)的点的轨迹。
其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。
注意:与()表示双曲线的一支。
表示两条射线;没有轨迹;
(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质:
中心在原点,焦点在轴上
中心在原点,焦点在轴上
标准方程
图 形
x
O
F1
F2
P
y
A2
A1
y
x
O
F1
P
B2
B1
F2
顶 点
对称轴
轴,轴;虚轴为,实轴为
焦 点
焦 距
离心率
(离心率越大,开口越大)
渐近线
通 径
(3)双曲线的渐近线:
①求双曲线的渐近线,可令其右边的1为0,即得,因式分解得到。
②与双曲线共渐近线的双曲线系方程是;
(4)等轴双曲线为,其离心率为
(4)常用结论:(1)双曲线的两个焦点为,过的直线交双曲线的同一支于两点,则的周长=
(2)设双曲线左、右两个焦点为,过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点,则的坐标分别是
三、抛物线:
(1)抛物线的定义:平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。
其中:定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线。
(2)抛物线的标准方程、图象及几何性质:
焦点在轴上,
焦点在轴上,
焦点在轴上,
焦点在轴上,
开口向右
开口向左
开口向上
开口向下
标准方程
图 形
x
O
F
P
y
O
F
P
y
x
O
F
P
y
x
O
F
P
y
x
顶 点
对称轴
轴
轴
焦 点
离心率
准 线
通 径
焦半径
焦点弦
焦准距
四、弦长公式:
其中,分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y后所得关于x的一元二次方程的判别式和的系数
五、弦的中点坐标的求法
法(一):(1)求出或设出直线与圆锥曲线方程;(2)联立两方程,消去y,得关于x的一元二次方程设,,由韦达定理求出;(3)设中点,由中点坐标公式得;再把代入直线方程求出。
法(二):用点差法,设,,中点,由点在曲线上,线段的中点坐标公式,过A、B两点斜率公式,列出5个方程,通过相减,代入等变形,求出。
六、求离心率的常用方法:法一,分别求出a,c,再代入公式
法二、建立a,b,c满足的关系,消去b,再化为关于e的方程,最后解方程求e (求e时,要注意椭圆离心率取值范围是0﹤e﹤1,而双曲线离心率取值范围是e﹥1)
高考专题训练 椭圆、双曲线、抛物线
一、选择题:
1.(2011·辽宁)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点M到y轴的距离为( )
B.1
答案:C
2.(2011·湖北)将两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,