文档介绍：变化率及导数 1 导数的计算 2 导数在研究函数中的应用 3 生活中优化问题举例 4 定积分的概念 5 第一章导数及其应用 Tankertanker Design § 变化率及导数?问题 1气球膨胀率?很多人都吹过气球,回忆一下在吹气球的过程中, 可以发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢? 如何描述呢? Tankertanker Design 若将半径 r 表示为体积 V的函数, 那么: 当空气容量 V从0L增加到 1 L , 气球半径增加了: ?我们知道, 气球的体积 V(单位:L)与半径 r (单位:dm )之间的?关系是: 33 4)(rrV?? 34 3)(? VVr?)(62 .0)0()1(dm rr??)/(62 .001 )0()1(Ldm rr???气球的平均膨胀率为: Tankertanker Design ?可以看出: 随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小当空气容量 V从 1L 增加到 2 L , 气球半径增加了: 气球的平均膨胀率为: )(16 .0)1()2(dm rr??)/(16 .012 )1()2(Ldm rr??? Tankertanker Design ?当空气容量从 V 1增加到 V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 2 1 2 1 ( ) ( ) r V r V V V ??思考? 问题 2高台跳水?在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系: ?如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么:??在 0 ≤ t ≤ 这段时间里,??在1≤ t ≤2这段时间里, 10 )( 2????ttth );/(05 . )0()(sm hhv????);/( )1()2(sm hhv????? v ?计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题: 65 49 0??t (1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 平均变化率?定义:式子称为函数从到的平均变化率.?令?则平均变化率可表示为: ?注: 并不是表示与的乘积?也是一样 12 12)()(xx xfxf??)(xf 1x 2x 12xxx???)()( 12xfxfy???x y?? x?? xy? Tankertanker Design 理解?1,式子中、的值可正、可负,但的值不能为, 的值可以为?2,若函数为常函数时, ? 3, 变式 x? y?x?y? 0)(xf0??yx xfxxfxx xfxf)()()()( 1 1 12 12???????为什么不能为零?如果无限接近零表示什么?0 Tankertanker Design 探索?? ?观察的图像?平均变化率?表示什么? 2x )(xf 12 12)()(xx xfxf??O A Bx yx 1x 2 f(x 1) f(x 2) x 2 -x 1 f(x 2 )-f(x 1) 直线 AB 的斜率若无限接近, 此时平均变化率又表示什么又表示什么? 1x 2x