文档介绍：2012年高考数学专题复****br/> 椭 圆
【考纲要求】
1. 掌握椭圆的定义，标准方程，了解椭圆的参数方程；
2. 掌握椭圆的简单几何性质
一、考点回顾
1. 椭圆的定义
1. 第一定义：
满足 的动点的轨迹是以为焦点，长轴长为 的椭圆
2. 第二定义：
到一个定点与到一定直线的距离之比等于
一个小于1的正数的点的轨迹叫椭圆
其中是椭圆的一个焦点，是相应于的准线，
定义式：
2. 椭圆的标准方程
（1）焦点在轴上：
焦点，，且满足：
（2）焦点在轴上：
焦点，，且满足：
（3）统一形式：
【注】为椭圆的定型条件，对三个值中知道
任意两个，可求第三个，其中
3. 椭圆的参数方程
焦点在轴上，中心在原点的椭圆的参数方程为： （为参数）
（其中为椭圆的长轴长，为椭圆的短轴长）
4 椭圆的简单几何性质
以椭圆为例说明
（1）范围：，
（2）对称性：椭圆的对称轴:轴，轴；对称中心：原点
（3）顶点：长轴顶点：，，短轴顶点：，
（4）离心率： 。
【注】①；②越大，椭圆越扁；③
（5）准线：椭圆有左，右两条准线关于轴对称。
左准线： 右准线：
（6）焦半径：椭圆上任一点到焦点的距离。左、右焦半径分别为
，
5 点与椭圆的位置关系
已知椭圆，点，则：
6 关于焦点三角形与焦点弦
（1）椭圆上一点与两个焦点所构成的称为焦点三角形。
设，则有：
P
① ，当（即为短轴顶点）时，最大，
此时
② 的面积
当（即为短轴顶点）时，最大，且
③
（2）经过焦点或的椭圆的弦，称为焦点弦。
A
B
设，的中点为，
则弦长
（左焦点取“+”，右焦点取“-”）
当轴时，最短，且
7 椭圆的光学性质
从椭圆的一个焦点射出的光线经椭圆反射后，经过椭圆的另一焦点。
8. 关于直线与椭圆的位置关系问题常用处理方法
1 联立方程法：联立直线和椭圆方程，消去，得到关于的一元二次方程，
设交点坐标为，则有，以及，还可进一步求出。在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法
2 点差法：设交点坐标为代入椭圆方程，并将两式相减，可得，在涉及斜率、中点、范围等问题时，常用此法
二 典例剖析
1 求椭圆的标准方程
【例1】（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的一个端点的距离为，则椭圆方程为____________
（2）椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆方程为_____________________
【解】（1）由已知：，又，故求得：。
所以，椭圆方程为：
（2）设椭圆方程为：，且设，，
PQ的中点为。由已知：，所以，
即有：，又 ，求得： 或 。
联立，消去y,得：，
则有: ，即。
由韦达定理可得：，从而有，
易知：，，所以或，
解之得： 或。故椭圆方程为： 或 。
【例2】设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点作的垂线分别交椭圆于，交轴于，且
（1）求椭圆的离心率。
（2）若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程。
【解】（1）由已知可得：
由可得：，将点坐标代入椭圆方程可得：
。 即
（2）由（1）得：，圆心为，半径
于是有：， 所以 。
故椭圆方程为：
【例3】已知中心在原点的椭圆的左，右焦点分别为，斜率为的直线过右焦点 与椭圆交于两点，与轴交于点点，且
（1）若，求椭圆离心率的取值范围
（2）若，且弦的中点到右准线的距离为，求椭圆的方程
【解】（1）设椭圆方程为：，
则直线的方程为：
由，可求得：
代入椭圆方程，并整理得：
而且，故有：
由已知： 得：
考虑到，故求得：
（2）由（1）可知，当时，
故椭圆方程可化为：
联立 消去得：
设的中点为，则
易知：椭圆的右准线为：，于是
故椭圆方程为：
【例4】已知椭圆的中心在原点，短轴长为，右准线交轴于点，右焦点为，且，过点的直线交椭圆于两点
（1）求椭圆的方程
（2）若，求直线的方程
（3）若点关于轴的对称点为，证明：直线过定点
（4）求的最大面积
【解】（1） 椭圆方程