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纸飞机抛出的最佳角度及重心位置数学建模.doc

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纸飞机抛出的最佳角度及重心位置数学建模.doc

上传人:w8888u 2021/5/30 文件大小:20 KB

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纸飞机抛出的最佳角度及重心位置数学建模.doc

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文档介绍:纸飞机抛出的最佳角度及重心位置数学建模


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  摘 要:本文假设纸飞机比赛可以调整配重来改变重心,例如可以使用少量胶带粘贴在机身上,调整重心的前后位置,同时需要考虑纸飞机滞空时间尽可能长,设计最佳重心位置和出手角度。
  关键词:纸飞机;重心位置;数学建模
  1 问题分析
  假设纸飞机翼面为精确平面,且比赛需要可以调整配重来改变重心,研究重心的位置对纸飞机的影响,以及纸飞机稳定性、受力,随重心位置的改变情况,从而得重心的最佳位置。
  2 问题的求解
   重心对纸飞机的影响
  若纸飞机的重心偏前:纸飞机前部就会向下俯冲,飞行距离就会减小,提前向下坠落;若纸飞机的重心偏后:纸飞机加速上升,重力增大,阻力也增大,纸飞机会快速坠落。因此在在纸飞机的折叠过程中,应尽可能将重心放置最佳升力点的位置上,这样才能维持飞机飞行的稳定性和飞行时间。
   升力来源
  升力来源为空气对机翼反作用力的向上分力,若分力在机翼表面均匀分布,则例如三角形机翼,升力的合力应该在飞机机翼的几何重心位置产生作用力。
   机翼面积的影响
  若增大纸飞机的机翼面积,则空气对机翼的反作用力增大,升力及阻力都增大。
  若机翼的水平夹角小于45°,空气对机翼的力量影响较大,仰角大于45°,影响阻力增大。
  机翼面积增大,升力会变大,同时单位面积的重量越小,重量的增量越小。相对因素变小导致惯性变小,向前的动力也会受阻力影响而变小。
   纸飞机的飞行距离与抛出角度的关系
  当θ=45°此时纸飞机的升力达到最大值,使纸飞机从最高处向下滑翔(此时不考虑其他因素对纸飞机影响),而使飞机达到最远的飞行距离。
  先制作了几组飞机,每一组尽可能的折出多种不同的形状或结构的纸飞机,进行实验,将测量的数据记录下来。然后改进、调整纸飞机,如将纸飞机增大或增重,做第二次试验。实验结果表明:保持第一组飞机其他量不变,体积增大,飞行速度明显减小,飞行距离也大大缩短;其他因素不变,增大质量会使飞行速度加大,飞行距离更远;整体上飞行速度略有减慢但飞行距离略有增加。
   问题的求解
   常见纸飞机类型分析
  简易型:;;重心位置约为距机头13~14cm;无襟翼、翼梢小翼和尾翼;机翼剖面为上凸形的弧线,翼身合一,可提升升力,但稳定性差;抛出方式影响飞机的稳定性,高速投掷时,飞行距离较大、方向性较准确。
  传统型:,;重心位置约为距机头6~7cm;无襟翼、翼梢小翼和尾翼;翼身合一,机翼剖面为下凹形的弧线,比简易型重心前移。
  平稳性强于简易型,但会出现上扬和回旋,投掷初速度过大,则出现明显回旋,稳定性较差,投掷时小力抛出才能保持相对平稳飞行。
  DC-03型:,机翼翼展约为151cm,重心位置约为距机头5~;无襟翼,有翼梢小翼和尾翼,翼身部分合一,但机尾部分分离;在传统型的基础上,重心前移更多,同时机尾向后延伸,且幅度较大;稳定性比前两种强,但由于重心靠前,不易上扬;投掷方式对稳定性影响不大;尾翼会受投掷速度影响,若拆除尾翼,会增强流畅性和稳定性,不同速度飞行表现俱佳。
   纸飞机的轴线
  (1)纵轴:由机鼻至机尾的轴线,称为“纵轴”Longitudinal Axis。飞机绕纵轴转动,控制飞机左右转动。
  (2)横轴:由机两翼连接、并贯穿重心的轴线,称为“侧轴”或“横轴”Lateral Axis。飞机绕横轴转动,控制飞机下俯或上扬。
  (3)立轴:由上至下、贯穿重心的轴线,称为“立轴”“法线轴”或“垂直轴”Normal Axis。飞机绕立轴转动,控制飞机方向。
   作用效果
  起飞阶段:由于起飞时飞机由手部抛出,起到一定固定作用,绕纵轴的横向翻滚,可以忽略不计。而起飞时,若手部施力点位置不当,易引起绕橫轴的俯仰转动与绕立轴的方向偏转。若施力点处于重心后,纸飞机会因为力矩失衡而翻滚。
  飞行阶段:将以上三种机型进行对比实验,结果显示,若纸飞机重心靠后,力矩失衡,纸飞机会发生下俯或上扬。同时很微小的方向偏转,也会使得纸飞机一侧的气流变大,从而机翼升力变大,另一侧气流减小,同时升力减小,纸飞机也容易产生明显翻滚