文档介绍：浅谈高等数学中第二型曲面积分的计算方法安庆师范学院数学系陈定元第二型曲面积分的计算是高等数学中的一个难点。在传统的教科书上关于第二型曲面积分的计算主要通过将其转化为二重积分或利用高斯公式计算,第一种方法运算量较大;第二种方法必须要满足高斯公式成立的条件,学生在使用这两种方法时经常出现错误。定义设?为光滑的有向曲面,函数( , , ) R x y z 在?上有界,把?任意分割成 n 块小曲面( 1, 2, , ) i S i n ? ??(iS?同时表示第 i 小块曲面的面积) ,iS?在 xoy 坐标面上的投影为( ) , ( , , ) i xy i i i i S S ? ??? ? ??, 若当各小块曲面的直径的最大值 0??时,01 lim ( , , )( ) n i i i i xy i R S ?? ??????存在。则称此极限值为( , , ) R x y z 在有向曲面?上对坐标, x y 的曲面积分( 或第二型曲面积分).记作( , , ) R x y z dxdy ???。第二型曲面积分的组合形式为: ( , , ) ( , , ) ( , , ) P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ?? ???。若( , , ) ( , , ) ( , , ) v P x y z i Q x y z j R x y z k ? ??? ???表示稳定流动的不可压缩的流体的速度场,?表示速度场中的一片有向曲面, 函数( , , ), ( , , ), ( , , ) P x y z Q x y z R x y z 在?上都连续, 则( , , ) ( , , ) ( , , ) P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ??? ????表示的物理意义为单位时间内流向?指定侧的流体的质量。 1 第二型曲面积分的传统计算方法对第二型曲面积分( , , ) ( , , ) ( , , ) P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ?? ???, 如果按照高斯公式( , , ) ( , , ) ( , , ) ( ) P Q R P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy dxdydz x y z ? ?? ??? ????? ???? ???,则?必须是封闭曲面且( , , ), ( , , ), ( , , ) P x y z Q x y z R x y z 在?所围的空间闭区域内具有一阶连续偏导数。根据曲面积分的运算性质, ( , , ) ( , , ) ( , , ) P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ?? ???可以转化为以下三个第二型曲面积分来计算:1 (