文档介绍：【知识纵横】
导数
导数及其应用
定义"。）=顼"3川。）
'（1）公式：①常函数，②指，③对，④幕，⑤复合函数。
2°运算
（2）法则：①伽），②（M 土 V）,③（"V）,④
3°意义:
（1）物理意义：瞬时速度及加速度
［斜率：求法有三①知两点②知倾角③求导
'①在该点出的切线方程，
过某点做曲线的切线方程，
知切线求参数值.
（2）几何意义＜
切线方程”
4。应用:《
'①证明或判断单调性；
（1） 单调性②求单调区间；
③知单调，求参数范围.
'①求极值；
（2） 求两函数值②求最值；
③知极值或最值，求参数值.
⑶y（x）与f⑴的图像关系
'①证明不等式；
（4）综合应用〈②比较实数大小；
③讨论方程根的个数.
【典例精析】
知 lim/(l±Mz£W =
*项 *
'，其中 b,ceR , ( I )略，(II )若 〃 V4(c —1),旦
例2已知函数f(x) = (x2 +bx +
limf"c =4,试证：—
1。 X
解：ff(x) = (x2 + (/? + 2)x + Z? + c)ex,易知 /(0)= lim'(*)—c = lim 加-/(°)= f'(0)= b + c, XT° X XT° X-0
Z? + c = 4,
所以
9 ( . m-6<b<2.
b~ <4(c-l),
利用导数研究函数的图像
例3设a <b,函数y = (x-a)2(x-b)的图像可能是
C . 1
解：y' = (x - a)(3x -2a -b),由)/=0 得 ％ =。,尤= —,..•当 x = a 时，y 取极大值
C I L.
0,当1 = —<b时y <0，当x>b时，y > 0
选C.
点评:通过导数研究函数图像的变化规律，也是考试的热点题型.
例4若函数y = /(x)的号粤数在区间［。力］上是增函数,
则函数y = /(x)在区间［a,b］上的图象可能是
B.
C.
D.
解：因为函数y = /(x)的号的数y = f\x)在区间0力］上是增函数,即在区间［a»］
上各点处函数的变化率是递增的，.
点评：这是一道非常精彩的好题，题目考察了导数的概念一函数的变化率以及图像的 变化规律，是以高等数学中函数图像的凹凸性为背景命制的，虽然试题的设计来源于高等数 学，.
利用导数解决函数的单调性问题
例 5 已知函数 /(x) = x3 + ax2 + x +1, a e R .
(I )讨论函数f(x)的单调区间； (II)设函数f 3)在区间内是减函数，求a的取值范围.
解：(1) /(x) = x3 +ax2 +尤 + 1 求导得 f'(x) = 3x2 + 2ax +1
当 a2 <3 时，△VO, y(>)在 R 上递增；
当屏>3,广3) = 0求得两根为］=
_Q ± J/ — 3