文档介绍：数列通项公式的求法
各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
一、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．
例1．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.
二、公式法
若已知数列的前项和与项的关系或已知数列的前项和与项数，
求数列的通项可用公式求解。
例2．已知数列的前项和满足．求数列的通项公式。
三、由递推式求数列通项法
对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。
类型1 递推公式为（化为累加法）
例3. 已知数列满足，，求。
类型2 （1）递推公式为（化为累乘法）
例4. 已知数列满足，，求。
类型3 递推公式为（其中p，q均为常数，）。
解法：待定系数法设：，构造新数列为等比数列
例5. 已知数列中，，，求.
类型4 递推公式为（其中p，q均为常数）。
解法：待定系数法设其中s，t满足，求出的值
构造新数列为等比数列
例6. 已知数列中，,,，求。
类型5 递推公式为（其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数）
解法：引入辅助数列（其中），得：
例7 已知数列中，,，求。
类型6： 解法：只需构造数列，消去带来的差异．
例5．设数列：，求.
解：设，将代入递推式，得
…（１）则,又，故代入（１）得
1 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设
2 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设
3. 已知数列满足，求数列的通项公式。
类型6： 解法：只需构造数列，消去带来的差异．
例5．设数列：，求.
解：设，将代入递推式，得
…（１）则,又，故代入（１）得
说明：（1）若为的二次式，则可设;(2)本题也可由 ,（）两式相减得转化为求之.
例6．已知， ，求。
解：
。
类型3 递推公式为（其中p，q均为常数，）。
解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。
(）在数列中，若，则该数列的通项
P24（styyj）
例7. 已知数列中，，，求.
解：,令，则,，2为公比的等比数列，则,所以.
类型4 递推公式为（其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数）
（）（本小题满分12分）
设数列的前项的和，
（Ⅰ）求首项与通项； P25（styyj）
解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：
引入辅助数列（其中），得：再应用类型3的方法解决。
例8. 已知数列中，,，求。
解：在两边乘以得：
令，则,应用例7解法得：
所以
类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。
解法：先把原递推公式转化为
其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。
（）（本小题满分14分）
已知数列满足
（I）求数列的通项公式； P26（styyj）
例9. 已知数列中，,,，求。
解：由可转化为
即或
这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即
又，所以。
类型6 递推公式为与的关系式。(或)
解法：利用进行求解。
() (本小题满分12分)
已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an P24（styyj）
例10. 已知数列前n项和.
（1）求与的关系；（2）求通项公式.
解：（1）由得：
于是
所以.
（2）应用类型4的方法，上式两边同乘以得：
，2为公差的等差数列，所以
类型7 双数列型
解法：根据所给两个数列递推公式的关系，